Ciao a tutti, qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi a verificare che:
$$
(-\sqrt{2}+\sqrt{2} i)^{2}=-4 i
$$
In questo caso invece va impiegato il binomio di Newton
$$
\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{3}=1
$$
Grazie mille in anticipo ❤️
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Livello 0
Veramente sarebbe molto meglio usare la forma goniometrica, comunque si può applicare il binomio di Newton (che per n=2 corrisponde al quadrato del binomio) solo che è più prolisso e un po' arido.
(-√2)^2 +2(-√2)(√2i)+(√2i)^2=
= 2 -4i + (-2)=
=-4i
(-1/2)^3 +3(-1/2)^2(√3/2*i)+3(-1/2)(^3/2*i)^2+(√3/2*i)^3=
=-1/8+3(1/4)(√3/2*i)+3(-1/2)(-3/4)-3√3/8*i=
=-1/8 + 3√3/8*i + 9/8 -3√3/8*i=
-1/8 + 9/8 =
=8/8 =
= 1
Per queste verifiche occorre e basta rammentare che:
* le potenze di "i" hanno ciclicità quattro, con: i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = - 1, i^3 = - i;
* la regola di Newton per sviluppare la potenza (a + b)^n impiega la riga del Triangolo di Tartaglia con indice "n".
In particolare:
* (a + i*b)^2 = a^2 - b^2 + i*2*a*b
* (a + i*b)^3 = a*(a^2 - 3*b^2) + i*b*(3*a^2 - b^2)
------------------------------
1) Con
* a = - √2, b = - a = √2
si ha
* (- √2 + i*√2)^2 = (a + i*b)^2 = a^2 - b^2 + i*2*a*b = - i*2*a^2 = - i*4
------------------------------
2) Con
* a = - 1/2, b = √3/2
si ha
* (- 1/2 + i*√3/2)^3 = (a + i*b)^3 = a*(a^2 - 3*b^2) + i*b*(3*a^2 - b^2) =
= (- 1/2)*((- 1/2)^2 - 3*(√3/2)^2) + i*(√3/2)*(3*(- 1/2)^2 - (√3/2)^2) =
= (- 1/2)*(1/4 - 3*3/4) + i*(√3/2)*(3*1/4 - 3/4) =
= 1
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Genius I
