[Risolto] Numeri Complessi

@yuki

6i = [radice (3) + i* radice (3)]²

Sappiamo che:

x²-a² = (x+a) * (x-a)

Quindi:

x² - 6i = [x - (radice (3) + i* radice (3)] [x + (radice (3) + i*radice (3)]

Legge di annullamento del prodotto:

x² - 6i = 0

x1 = radice (3) + i*radice (3) = radice (3)*(1+i)

x2 = - [radice (3) + i*radice (3)] = - radice (3)* (1+i)

x^2 =6i

Cerchiamo le radici quadrate di 6i

Lo scriviamo in forma trigonometrica

6(cos (pi/2) + i sin (pi/2))

Le radici sono per la formula di de Moivre

rad(6)*(cos )(pi/2+2k pi) /2)+ i sin ((pi/2 + 2k pi/2)/2)

con k = 0, 1

z1 = rad(6) ( cos pi/4 + i sin pi/4 ) = 

= rad(6)/rad(2) * (1 + i )

z2 = rad(6) ( cos 5/4 pi + i sin 5/4 pi ) = 

= rad(6)/rad(2) ( - 1 - i )

che si compendiano in z = +- rad(3) * (1 + i)

Se la variabile complessa la chiami x, poi come chiami la sua parte reale? Che guaio!
Se invece la chiami z = x + i*y = ρ*e^(i*θ) puoi facilmente scrivere
* Re[z] = x = ρ*cos(θ)
* Im[z] = y = ρ*sin(θ)
e godere di notazioni perspicue anziché confusionarie.
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Per risolvere l'equazione
363) z^2 - i*6 = 0
cioè
* z^2 = i*6
si considera che, se il secondo membro è immaginario puro positivo (di anomalia θ = π/2), così dev'essere anche il primo; ma essendo esso un quadrato la sua radice quadrata principale dev'essere nel semipiano superiore (y > 0) sulla diagonale dei quadranti dispari (θ = π/4) e avere modulo ρ = √6 (la seconda radice, essendo z = ± √(i*6), è l'opposto: nel terzo quadrante).
Quindi
* w[0] = (√6)*e^(i*π/4) = (√6)*(cos(π/4) + i*sin(π/4)) = (√3)*(1 + i)
* w[1] = (√6)*e^(i*5*π/4) = (√6)*(cos(5*π/4) + i*sin(5*π/4)) = (- √3)*(1 + i)
VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify++%7B%28%E2%88%9A3%29*%281--i%29%2C%28-%E2%88%9A3%29*%281--i%29%7D%5E2

x^2 - 6*i = 0   ---> x^2 = 6*i ---> x = (6*i)^(1/2)  ---> x = 6^(1/2) * i^(1/2)  

x =  6^(1/2) * e^(i*pi/2)(1/2) = 6^(1/2) * e^(i*pi/4)

x = +-sqrt6 (cos(pi/4) + i*sen(pi/4)) = +- sqrt6(sqrt2/2 + i*sqrt2/2) = +-sqrt12/2( 1 + i) = +-sqrt12/sqrt4( 1 + i) =+- sqrt(12/4)( 1 + i)  = +- sqrt3(1 + i)