[Risolto] Numeri complessi

Più che da spiegare, qui ci sono un po' di definizioni da rammentare.
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Con
* x, y, ρ, θ reali;
* ρ > 0;
* 0 <= θ < 2*π;
si ha il
PROMEMORIA (sarà utile?)
Rappresentazione cartesiana: z = x + i*y
Coniugato di z: z' = x - i*y
Modulo di z: |z| = ρ = |x + i*y| = √(z*z') = √(x^2 + y^2)
Argomento (o fase) di z: arg(z) = θ
* θ = π + arctg(y/x) [x < 0]
* θ = π/2 [x = 0]
* θ = arctg(y/x) [x > 0]
Formula di Eulero: e^(i*θ) = cos(θ) + i*sen(θ)
Rappresentazioni polari: z = ρ * e^(i*θ) = ρ * (cos(θ) + i*sen(θ))
Potenza: z^q = (x + i*y)^q = ρ^q * e^(i*θ*q)
fine PROMEMORIA
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ESERCIZIO (sono solo passaggi pallosi, non spiegazioni!)
* z = "[(1 - 3i)/(1 + i) - i ]^3" ≡
≡ z = ((1 - i*3)/(1 + i) - i)^3 =
= ((1 - x*3)/(1 + x) - x)^3 =
= ((- x^2 - 4 x + 1)/(x + 1))^3 =
= ((- i^2 - 4 i + 1)/(i + 1))^3 =
= ((1 - 4*i + 1)/(i + 1))^3 =
= (2*(1 - i*2)/(1 + i))^3 =
= 8*((1 - i*2)*(1 - i)/((1 + i)*(1 - i)))^3 =
= 8*(- (1 + i*3)/2)^3 =
= - (1 + i*3)^3 =
= 26 + i*18
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* |z| = |1 + i*3|^3 = (√(1^2 + 3^2))^3 = 10*√10
oppure
* |z| = |26 + i*18| = √(26^2 + 18^2) = 10*√10

@digi

Benvenuto.

Dovrebbe essere, sviluppando i calcoli:

((1 - 3·i)/(1 + i) - i)^3--------> 26 + 18·i

Quindi di modulo: √(26^2 + 18^2) = 10·√10

Ho sbagliato?

Procediamo con ordine:

(1 - 3·i)/(1 + i) = (1 - 3·i)·(1 - i)/((1 + i)·(1 - i))

(1 - 3·i)/(1 + i) = (-2 - 4·i)/2

poi

(-2 - 4·i)/2 - i = -1 - 3·i

(-1 - 3·i)^3 = 26 + 18·i

(Il calcolo lo lascio fare a te. Tieni presente che i^2 = -1)