Si consideri la matrice $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$.
a) Trovare $\operatorname{Ker} L_A$ e $\operatorname{Im} L_A$.
b) Esibire una base di $\operatorname{Ker} L_A$ e una base di $\operatorname{Im} L_A$.
Si consideri la matrice $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$.
a) Trovare $\operatorname{Ker} L_A$ e $\operatorname{Im} L_A$.
b) Esibire una base di $\operatorname{Ker} L_A$ e una base di $\operatorname{Im} L_A$.
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Livello 1
Per definizione:
$ Ker L_A = \{ x \in R^2 : Ax = 0\}$
Dobbiamo quindi determinare le soluzioni del sistema associato:
{$x+y = 0$
{$x+y = 0$
Il sistema è sovradeterminato (nota infatti che il rango della matrice è rg(A)=1 e avendo n=2 incognite troviamo $\infty^{n-rg(A)} = \infty^{1}$ soluzioni del tipo:
$ y = -x$
Dunque ponendo $x=t$ le soluzioni sono del tipo:
$ (t, -t)$
e possiamo scrivere il kernel come:
$ KerL_A= \{(t,-t), t \in R\}$
Il kernel ha dunque dimensione $dim(KerL_A) = 1$ e una sua base è ad esempio
$ B_{KerL_A} = \{(1,-1)\}$
avendo scelto $t=1$.
Per il teorema dimensionale, sappiamo che:
$ dimV = dim(KerL_A) + dim(Im L_A)$
Nel nostro caso $A: R^2 \rightarrow R^2$ quindi $dimV=2$ e $dim(KerL_A) = 1$ da cui anche $dim(Im L_A)=1$
Per esplicitare l'immagine notiamo che:, ci basta prendere un vettore linearmente indipendente tra le colonne di A (solo 1 perché appunto la dimensione è 1).
Non c'è molta scelta per cui prendiamo il vettore (1 1) e scriviamo lo spazio immagine come:
$ Im A = \{(t,t), t \in R\}$
da cui una base è proprio
$ B_{ImA} = \{(1, 1)\}$
Noemi
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Livello 6