Nota l'area del quadrato e nota la misura della corda determinare l'area del semicerchio

Il lato del quadrato è $\overline{BC}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$

Il triangolo $BFE$ è rettangolo in $F$ perché $\overline{BE}$ è un diametro di una semicirconferenza, quindi l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro, in questo caso è un angolo retto. Mentre $\widehat{EBC}$ è retto perché è il supplementare di $\widehat{ABC}$ che è retto.

Usiamo la trigonometria per ricavare due equazioni:

$\begin{cases}\dfrac{8}{\cos(\alpha)}=2r \\ 2r \tan(\alpha)=6\sqrt{5} \end{cases}$

Sostituisco $2r$ nella seconda:

$\dfrac{8}{\cos(\alpha)} \cdot \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=6\sqrt{5}$

$\dfrac{4\sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}=3\sqrt{5}$

Dalla prima formula fondamentale $\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)$, quindi:

$\dfrac{4\sin(\alpha)}{1-\sin^2(\alpha)}=3\sqrt{5}$

$3\sqrt{5}\sin^2(\alpha)+4\sin(\alpha)-3\sqrt{5}=0$

$\sin(\alpha)=\dfrac{-4 \pm \sqrt{16+4\cdot 45}}{2\cdot 3\sqrt{5}}=\dfrac{-4\pm 14}{2 \cdot 3\sqrt{5}}=\dfrac{-2 \pm 7}{3\sqrt{5}}$.

Non possiamo accettare la soluzione negativa perché $BEC$ è rettangolo in $B$, quindi sicuramente $ 0< \alpha < \frac{\pi}{2} \implies \sin(\alpha)>0$ (anche $\cos(\alpha) >0$ per lo stesso motivo), allora $\sin(\alpha)=\dfrac{5}{3\sqrt{5}}$.

Ricaviamo $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha)=\sqrt{1-\dfrac{25}{45}}=\dfrac{2}{3}$

Ora possiamo sostituire $\cos(\alpha)$ nella prima equazione per trovare $r$:

$8\cdot \dfrac{3}{2}=2r \implies r=6$.

L'area della semicirconferenza è semplicemente $\mathcal{A}=\dfrac{\pi r^2}{2}=18\pi$.

Per completezza $\alpha = \arccos \left ( \dfrac{2}{3} \right ) \approx 48.1896851042^{\circ}$.

Svolgimento con l'uso della geometria analitica. 

siamo in presenza di 2 triangoli rettangoli simili per cui vale la relazione :

8/d = √d^2-8^2  / √180

8^2*180 = d^2-64d^2 

d^2 = (64+√64^2+720*64)/2 = 144 u^2

d = 12 u 

area semicerchio Asc = π*d^2/8 = 18π u^2