Non riesco a svolgere la numero 537

Operiamo un cambio di variabile sperando in qualche limite notevole.

Poniamo $y = x- \frac{\pi}{2} \; ⇒ \; \text {  Se   $ x→ \frac{\pi}{2} $   allora  $y→0 $ } $

$ = \displaystyle\lim_{y \to 0} \frac{cosy - 1}{-siny(-\sqrt{2}sin(\frac{y}{2}))} =  \displaystyle\lim_{y \to 0} \frac{cosy - 1}{\sqrt{2} siny(sin(\frac{y}{2}))} $

forma indeterminata del tipo 0/0. Possiamo applicare de l'Hôpital

$ \displaystyle\lim_{y \to 0} \frac{-siny}{\sqrt{2} (sin(\frac{y}{2})cosy + \frac{1}{2}siny(cos(\frac{y}{2}))} $

forma indeterminata del tipo 0/0. Possiamo ri- applicare de l'Hôpital

$ \displaystyle\lim_{y \to 0} \frac{-cosy}{\sqrt{2} (cos(\frac{y}{2})cosy + \frac{5}{4}siny(sin(\frac{y}{2}))} = - \frac{1}{\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} $

Per il teorema di de l'Hopital ora possiamo concludere che il limite dato esiste e vale $ - \frac{\sqrt{2}}{2} $ 

nota: Non abbiamo fatto uso di limiti notevoli, quindi il cambio di variabile non si è rivelato necessario.

A grande ( 1!) richiesta ecco la soluzione con i limiti notevoli

I primi passaggi sono eguali, dalla 

$ =  \displaystyle\lim_{y \to 0} \frac{cosy - 1}{\sqrt{2} siny(sin(\frac{y}{2}))} =$

segue

$ =  \displaystyle\lim_{y \to 0} -\frac{1-cosy}{y^2} \cdot \frac{y^2}{ \sqrt{2} siny(sin(\frac{y}{2}))} = $

$ =  \displaystyle\lim_{y \to 0} -\frac{1-cosy}{y^2} \cdot \frac{1} {\sqrt{2} \frac{siny}{y} \frac{sin(\frac{y}{2})}{\frac{y}{2}}} \cdot 2 = $

$ = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} $

Abbiamo fatto uso dei seguenti limiti notevoli

• $ \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{sinx}{x} = 1 $
• $ \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{1-cosx}{x^2} = \frac{1}{2} $