f(x)=4xe ^-x
nell'intervallo [0;+00[
1. Determinare gli intervalli in cui essa è concava e convessa, dimostrando che esiste un solo valore c appartenente alla loro intersezione.
• 2. Calcolare l'area della regione di piano delimitata dagli assi cartesiani, dal grafico della funzione e dalla retta di equazione x=c
2
punti
Livello 0
Per x=1 si annulla la derivata prima; per x=2 si annulla la derivata seconda
y = 4·x·e^(-x)
ha derivate:
y'= 4·e^(-x) - 4·x·e^(-x) ; y'' = 4·e^(-x)·(x - 1) - 4·e^(-x)
Un solo punto di flesso dove si annulla la derivata y'':
4·e^(-x)·(x - 1) - 4·e^(-x) = 0------> 4·e^(-x)·(x - 2) = 0
in x = 2 (c=2)
∫(4·x·e^(-x)dx = - 4·e^(-x)·(x + 1) (a meno della costante di integrazione C)
Quindi: valutato ai suoi estremi si ha:
- 4·e^(-2)·(2 + 1)
- 4·e^(-0)·(0 + 1)
per cui l'integrale definito vale:
- 4·e^(-2)·(2 + 1) + 4·e^(-0)·(0 + 1) = 4 - 12·e^(-2) = 2.375976601= 2.38 circa
78720
punti
Genius II
SPIEGARE I PASSAGGI
* f(x) = y = 4*x/e^x, con x >= 0
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1) Determinare gli zeri della derivata seconda risolvendo y'' = 0; elencare gl'intervalli in cui y'' <= 0 separatamente da quelli in cui y'' >= 0; dimostrare che c'è un unico zero in x = c.
PASSAGGI
1a) y' = - 4*(x - 1)/e^x
1b) y'' = 4*(x - 2)/e^x
1c) y'' = 0 ≡ x = 2 (l'unico zero è in x = c = 2)
1d) y'' <= 0 ≡ x <= 2
1e) y'' >= 0 ≡ x >= 2
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2) L'area del trapezio rettangolo mistilineo descritto è l'integrale da zero a c.
* f(x) = y = 4*x/e^x, con x >= 0
* F(x) = ∫ f(x)*dx = - 4*(x + 1)/e^x + C
PASSAGGI
2a) I(a, b, f) = ∫ [x = a, b] f(x)*dx = F(b) - F(a) =
= (- 4*(b + 1)/e^b + C) - (- 4*(a + 1) + C) =
= 4*((a + 1)/e^a - (b + 1)/e^b)
2b) I(0, c, f) = 4*(1 - (c + 1)/e^c)
2c) I(0, 2, f) = 4*(1 - (2 + 1)/e^2) = 4 - 12/e^2 ~= 2.3759766 ~= 2.376
52338
punti
Genius I
