Nello spazio euclideo E3 si considerino le rette r(α) e s(α) al variare di
α ∈ R
r(α)
(
(3 − α)x − 3y + 5z = 3 − α
x + y + 3z = 1
s(α)
(
3y + 2z = α
(1 − α)x − 2y + (1 + α)z = 1 − α
(a) Studiare la posizione delle due rette al variare di α.
(b) Nei casi in cui r(α) e s(α) sono distinte e complanari, scrivere l’equazione
del piano che le contiene.
Soluzione: (a) rette sghembe ∀α ∈ R \ {0, 13}, coincidenti per α = 0, incidenti per
α = 13. (b) 6x + y − 7z − 6 = 0.
3
punti
Livello 0
Se ho interpretato correttamente la tua scrittura, capisco
* k ∈ R
* r(k) ≡ ((3 − k)*x − 3*y + 5*z = 3 − k) & (x + y + 3*z = 1)
* s(k) ≡ (3*y + 2*z = k) & ((1 − k)*x − 2*y + (1 + k)*z = 1 − k)
(chiamare k il parametro elimina una cofana di Copia/Incolla).
Se ho interpretato male, trascura il seguito e riscrivi diversamente.
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Se il sistema
* r(k) & s(k) ≡
≡ ((3 − k)*x − 3*y + 5*z = 3 − k) & (x + y + 3*z = 1) & (3*y + 2*z = k) & ((1 − k)*x − 2*y + (1 + k)*z = 1 − k) ≡
≡ (k = 13) & (x = - 1) & (y = 5) & (z = - 1)
oppure
≡ (k = 0) & (y = 2*(x - 1)/7) & (z = 3*(1 - x)/7)
oppure
≡ (k ∉ {0, 13}) & (impossibile)
* è determinato allora r ed s sono incidenti in (- 1, 5, - 1)
* è indeterminato allora r ed s coincidono su (3*x − 3*y + 5*z = 3) & (x + y + 3*z = 1)
* è impossibile allora r ed s sono sghembe
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Il punto b te lo calcoli da te a partire da
* r(13) ≡ (10*x + 3*y - 5*z = 10) & (x + y + 3*z = 1)
* s(13) ≡ (3*y + 2*z = 13) & (6*x + y - 7*z = 6)
e applicando la procedura al link
http://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/geometria-dello-spazio/718-trovare-il-piano-contenente-due-rette.html
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DETTAGLI
* ((3 − k)*x − 3*y + 5*z = 3 − k) & (x + y + 3*z = 1) & (3*y + 2*z = k) & ((1 − k)*x − 2*y + (1 + k)*z = 1 − k) ≡
≡ (z = ((k - 3)*x + 3*y + 3 - k)/5) & (x + y + 3*((k - 3)*x + 3*y + 3 - k)/5 = 1) & (3*y + 2*((k - 3)*x + 3*y + 3 - k)/5 = k) & ((1 − k)*x − 2*y + (1 + k)*((k - 3)*x + 3*y + 3 - k)/5 = 1 − k) ≡
≡ (y = (3*k - 4)*(1 - x)/14) & (z = ((k - 3)*x + 3*(3*k - 4)*(1 - x)/14 + 3 - k)/5) & (3*(3*k - 4)*(1 - x)/14 + 2*((k - 3)*x + 3*(3*k - 4)*(1 - x)/14 + 3 - k)/5 = k) & ((1 − k)*x − 2*(3*k - 4)*(1 - x)/14 + (1 + k)*((k - 3)*x + 3*(3*k - 4)*(1 - x)/14 + 3 - k)/5 = 1 − k) ≡
≡ (y = (3*k - 4)*(1 - x)/14) & (z = (x - 1)*(k - 6)/14) & ((x = - 1) oppure (k = 0)) & ((x = 1) & (k ∉ {0, 13}))
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a) (x = 1) & (k ∉ {0, 13})
* (y = (3*k - 4)*(1 - 1)/14) & (z = (1 - 1)*(k - 6)/14) & ((1 = - 1) oppure (k = 0)) ≡
≡ (y = 0) & (z = 0) & ((falso) oppure (contraddittorio)) ≡
≡ impossibile
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b) k = 0
* (y = (3*0 - 4)*(1 - x)/14) & (z = (x - 1)*(0 - 6)/14) & ((x = 1) & (k ∉ {0, 13})) ≡
≡ (y = 2*(x - 1)/7) & (z = 3*(1 - x)/7) & ((x = 1) & (k ∉ {0, 13})) ≡
≡ (y = 2*(x - 1)/7) & (z = 3*(1 - x)/7)
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c) x = - 1
* (y = (3*k - 4)*(1 - (- 1))/14) & (z = (- 1 - 1)*(k - 6)/14) & ((x = 1) & (k ∉ {0, 13})) ≡
≡ (y = (3*k - 4)/7) & (z = (6 - k)/7) & (x = 1) & (k ∉ {0, 13})
57798
punti
Genius I
