Parabola
Direttrice parallela all'asse x vuol dire asse di simmetria parallelo all'asse y, quindi equazione delle forma
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
e pendenza
* m(x) = 2*a*(x - w)
con apertura a != 0, vertice V(w, h), fuoco F(w, h + 1/(4*a)), direttrice d ≡ y = h + 1/(4*a).
Dai dati
* F(0, 8)
* d ≡ y = - 4
si ha
* (w = 0) & (h + 1/(4*a) = 8) & (h - 1/(4*a) = - 4) ≡
≡ (w = 0) & (h = 2) & (a = 1/24)
da cui
* Γ ≡ y = 2 + x^2/24
* m(x) = x/12
---------------
All'ascissa x = 3 si hanno P(3, 19/8) ed m(3) = 1/4.
-----------------------------
Risposte ai quesiti
---------------
a) La retta per P(3, 19/8) di pendenza 1/4 è
* t ≡ y = 19/8 + (x - 3)/4 ≡ y = (2*x + 13)/8
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%282*x--13%29%2F8%2Cy-x%5E2%2F24%3D2%5D
elemento del fascio improprio
* t(q) ≡ y = x/4 + q
---------------
b) Per staccare una corda il sistema dei punti comuni deve dare due intersezioni reali e distinte
* t(q) & Γ ≡ (y = x/4 + q) & (y = 2 + x^2/24) ≡
≡ A(3 - √(24*(q - 13/8)), (4*q + 3 - √(24*(q - 13/8)))/4)
oppure
≡ B(3 + √(24*(q - 13/8)), (4*q + 3 + √(24*(q - 13/8)))/4)
che sono reali e distinte se e solo se q > 13/8.
Si richiede che A e B debbano distare
* |AB| = √(408*(q - 13/8))/2 = 3*√17/2
quindi
* (√(408*(q - 13/8))/2 = 3*√17/2) & (q > 13/8) ≡ q = 2
* r ≡ t(2) ≡ y = x/4 + 2
* A(0, 2) oppure B(6, 7/2)
---------------
c) Il triangolo di vertici A(0, 2), B(6, 7/2), F(0, 8) risulta di base |AF| = 6 e di altezza |6 - 0| = 6, quindi di area
* S = 6*6/2 = 18
