$ f(x) = \frac {2^x +a}{4^x + b}$
a) Calcolo dei due parametri a, b.
Sostituendo le coordinate dei due punti, si ottiene un sistema di due equazioni nelle due incognite a, b
$ \left\{\begin{aligned} \frac {7}{15} &= \frac {2^0 +a}{4^0 + b} \\ \frac {1}{2} &= \frac {2 + a}{4 + b} \end{aligned} \right.$
la cui soluzione è a = -8, b = -16
.
b) $ f(x) = \frac {2^x -8}{4^x -16}$
La funzione non è definita quando il denominatore si annulla, quindi
$4^x \ne 16 \, ⇒ \, x \ne 2$
$D = ℝ \setminus \{2 \}$
L'asse y ha equazione x = 0. Risolvendo il sistema "asse, funzione" si ottiene $f(0) = \frac {7}{15}$ il punto di intersezione ha coordinate (0, 7/15)
L'asse x ha equazione y = 0. Risolvendo il sistema "asse, funzione" si ottiene $ 0 = 2^x-8$. il punto di intersezione ha coordinate (3, 0)
- Segno di f(x)
- Segno del Numeratore
- Positivo per x > 3
- Negativo per x<3
- Segno del Denominatore
- Positivo per x > 2
- Negativo per x<2
per cui, il segno della funzione f(x) risulterà
-
- f(x) negativa nell'intervallo (2,3)
- f(x) positiva per x < 2 o per x > 3
.
c) Risolvere $ 2^x \cdot f(x) = 1$
$2^x \cdot (2^x-8) = 4^x - 16$
$ 4^x -8 \cdot 2^x = 4^x - 16$
$ 8 \cdot 2^x = 16$
$ x = 1$