N 287

Ciao di nuovo.

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

passaggio per i punti dati.

{0^2 + 10^2 + a·0 + b·10 + c = 0

{4^2 + 8^2 + a·4 + b·8 + c = 0

Quindi:

{10·b + c = -100

{4·a + 8·b + c = -80

Risolvo rispetto a b e c:

[b = 2·(a - 5) ∧ c = - 20·a]

Ottengo l'equazione:

x^2 + y^2 + a·x + (2·(a - 5))·y + - 20·a = 0

Quindi metto a sistema:

{x^2 + a·x + y^2 + 2·y·(a - 5) - 20·a = 0

{y = 0

procedo per sostituzione:

x^2 + a·x + 0^2 + 2·0·(a - 5) - 20·a = 0

x^2 + a·x - 20·a = 0

Condizione di tangenza

Δ = 0------> a^2 + 80·a = 0-----> a = -80 ∨ a = 0

Circonferenze:

 x^2 + y^2 - 80·x - 170·y + 1600 = 0

x^2 + y^2 - 10·y = 0

RIPASSI
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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L'asse del segmento AB di estremi due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
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RISOLUZIONE
Ogni circonferenza per due dati punti A e B ha il centro C sull'asse del segmento AB con raggio r la comune distanza da C di A e B.
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Dati i punti
* A(0, 10), B(4, 8)
con ordinate diverse, l'asse del segmento AB è la retta
* r ≡ y = (2*(4 - 0)*x + 0^2 - 4^2 + 10^2 - 8^2)/(2*(10 - 8)) ≡
≡ y = 2*x + 5
sulla quale giacciono i centri C(k, 2*k + 5) del fascio
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (2*k + 5))^2 = 5*(k^2 - 4*k + 5) ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*k*x - 2*(2*k + 5)*y + 40*k = 0
in quanto
* r = |CA| = |CB| = √(k^2 + (2*k - 5)^2)
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Il sistema
* (y = 0) & (x^2 + y^2 - 2*k*x - 2*(2*k + 5)*y + 40*k = 0)
ha risolvente
* x^2 - 2*k*x + 40*k = 0
con discriminante
* Δ(k) = 4*(k - 40)*k
che, per la tangenza richiesta, dev'essere zero.
Quindi le due circonferenze cercate sono
* Γ(0) ≡ x^2 + y^2 - 2*0*x - 2*(2*0 + 5)*y + 40*0 = 0 ≡
≡ x^2 + (y - 5)^2 = 25
* Γ(40) ≡ x^2 + y^2 - 2*40*x - 2*(2*40 + 5)*y + 40*40 = 0 ≡
≡ (x - 40)^2 + (y - 85)^2 = 7225
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2--%28y-5%29%5E2%3D25%2C%28x-40%29%5E2--%28y-85%29%5E2%3D7225%5D
e solo il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cx%5E2--%28y-5%29%5E2%3D25%2C%28x-40%29%5E2--%28y-85%29%5E2%3D7225%5Dx%3D-8to60%2Cy%3D-1to12