N. 215

215) L'area totale di un cono di marmo(d=2,6 g/cm³) è di 50 pi greco cm². Sapendo che l'area di base è gli 8/17 di quella laterale, calcola la massa del solido.

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Somma (area totale) e rapporto tra area di base e area laterale, quindi:

area di base $Ab= \dfrac{50π}{8+17}×8 = 16π~cm^2$;

area laterale $Al= \dfrac{50π}{8+17}×17 = 34π~cm^2$;

raggio di base $r_b= \sqrt{\frac{Ab}{π}} = \sqrt{\frac{16π}{π}} = \sqrt{16} = 4~cm$ (formula inversa dell'area di base);

circonferenza di base $c_b= r_b·2π = 4×2π = 8π~cm$

apotema $ap= \dfrac{2·Al}{c_b} = \dfrac{2×34π}{8π} = 8,5~cm$;

altezza $h= \sqrt{ap^2-r_b^2} = \sqrt{8,5^2-4^2} = 7,5~cm$ (teorema di Pitagora);

volume $V= \dfrac{Ab×h}{3} = \dfrac{16π×7,5}{3} = 40π~cm^3$;

massa $m= V·d = 40π×2,6 ≅ 326,7~g$    $(d= 2,6~g/cm^3)$.

L area totale di un cono di marmo(d = 2,6 g/cm^3) è di 50 pi greco cm^2. Sapendo che l area di base Ab è gli 8/17 di quella laterale Al, calcola la massa m del solido.

Al+8Al/17 = 25Al/17 = 50π 

area laterale Al = 50π /2*17 = 34π  cm^2

area base Ab = 50π-34π = 16π cm^2 = πr^2

raggio r = √16 = 4,0 cm 

apotema a = 2AL/2πr = 2*34*π/(2*π*4) = 8,50 cm

altezza h = √a^2-r^2 = √8,50^2-4^2 = 7,50 cm 

massa m = 16π*7,50/3*2,6 = 104π grammi  (326,73..)