[Risolto] Moto su piano inclinato ed energia

In salita la forza peso parallela e la forza d'attrito sono frenanti, hanno lo stesso verso

F risultante = - m g sen(α) - µ * m g cos(α) ;

v finale = 0 m/s; vo = 4 m/s;

Teorema dell'energia cinetica: L = 1/2 m v^2 - 1/2 m vo^2;

(F risultante) * S = 0 - 1/2 m vo^2;

[- m g sen(α) - µ * m g cos(α)] * S = - 1/2 mv^2;

m si semplifica; cambiamo i segni.

[g sen(α) + µ g cos(α)] * S =  1/2 v^2;

[9,8 *  0,5 + 0,2 * 9,8 * radice(3) /2] * S = 1/2 * 4^2;

[4,9 + 1,7] * S = 8

S = 8 / 6,6 = 1,21 m; spazio percorso in salita, fino a fermarsi;

2)

a = - g sen(30°) - µ  g cos(30°) = - g * [sen(30°) + µ cos(30°)];

a =   - 9,8 * (0,5 + 0,2 * 0,866) = - 6,6 m/s^2; (decelerazione in salita);

v = a * t + vo;

v = - 6,6 * t + 4;  v finale = 0;

- 6,6 * t + 4 = 0;

t = 4 / 6,6 = 0,61 s; tempo di salita;

in discesa:

F parallela e F attrito hanno verso contrario.

a = g sen(30°) - µ  g cos(30°) = 4,9  - 1,7 = + 3,2 m/s^2, (accelerazione verso il basso);

S = 1,21 m; parte da fermo.

1/2 a t^2 = S;

t = radicequadrata(2 * S / a) = radice(2 * 1,21 / 3,2) = 0,87 s; (tempo di discesa).

3)  v finale = a * t = 3,2 * 0,87 = 2,8 m/s; (velocità in fondo al piano).

Energia finale = 1/2 m v^2 = 1/2 * 1,2 * 2,8^2 = 4,7 J;

Energia iniziale = 1/2 m vo^2 = 1/2 * 1,2 * 4^2 = 9,6 J;

Energia dissipata = 4,7 - 9,6 = - 4,9 J (energia persa per attrito).

Lavoro attrito: 

F attrito * S; 

S = 2 *1,21 = 2,42 m

L = 0,2 * 1,2 * 9,8 * cos(30°) * 2,42 = 2,04 * 2,42 = 4,9 J.

Ciao  @alessandra_12

Un blocco di massa m = 1.2 Kg viene lanciato su per un piano con inclinazione α = π/6 (cioè α = 30°), con velocità iniziale di modulo Vo = 4 m/ s.
Il coefficiente d’attrito dinamico tra il blocco e il piano è µ = 0,2. Il blocco sale lungo il piano fino a quando inverte il suo moto e torna indietro. Calcolare:

1. la distanza s percorsa dal blocco lungo il piano;

m/2*Vo^2 = m*g*s*(sin30°+cos30°*µ)

la massa m "smamma"

Vo^2 = 2*g*s*(0,5+0,866*0,2)

s = 16/(19,612*0,6732) = 1,212 m (solo salita)

2. il tempo ts impiegato  in salita, e quello td impiegato nel ritornare giù;

Vm = (Vo+0)/2 = 2,0 m/sec 

ts = s/Vm = 1,212/2 = 0,606 sec 

energia dissipata in discesa = Ead = 2,47 J

energia residua Er a fondo discesa = m*g*s*sin 30°-Ead = 7,13-2,47 = 4,66 J

Er = m/2*Vf^2

velocità a fondo discesa Vf = √2Er/m = √2*4,66/1,2 = 2,79 m/sec

td = s*2/(2,79+0) = 2,424/2,79 = 0,870 sec 

3. l’energia dissipata per attrito lungo l’intero percorso.

energia dissipata in salita Eas :

Eas = m*g*cos 30*s*μ = 1,2*9,806*0,866*1,212*0,2 = 2,47 J

energia dissipata in discesa Ead = Eas = 2,47 J

energia totale dissipata Ea = Eas+Ead  = 4,94 J