Moto parabolico orizzontale

 Un motociclista deve superare un burrone largo d = 5 m e passare da un' altezza di 5 m a un' altezza di 3 m. Calcola la velocità iniziale Vo che deve avere il motociclista per non cadere nel burrone.

Il problema, per come è posto, ammetterebbe infinite soluzioni, ma poiché nulla è detto circa l'eventuale scostamento della velocità iniziale Vo dalla direzione puramente orizzontale, si assume che la velocità iniziale sia solo Vox, cioè priva di componente verticale Voy, il che conduce ad una soluzione univoca come quella rappresentata nello sketch sottostante . 

il tempo di caduta non è affatto influenzato dalla componente orizzontale della velocità iniziale, pertanto è lo stesso che impiegherebbe un corpo "droppato" a scendere dello stesso dislivello; ne consegue che :

Δh = g/2*t^2....moto MRUA

(3-5) = -4,9033*t^2

t = √-2/-4,9033 = 0,639 s 

Vox = d/t = 5 m / 0,639 s = 7,83 m/s 

Calcolo la minima velocità iniziale η che il motociclista dovrebbe avere per non cadere nel burrone.

Le componenti della velocità iniziale sono: [η, 0]. Considero le equazioni orarie che regolano tale moto:

{x = η·t

{y = Δh - 1/2·g·(x/η)^2

In esse:

y = 0 quota di atterraggio moto

Δh = 5 - 3 = 2 m dislivello da superare

g = 9.806 m/s^2

x = 5 m larghezza del precipizio

0 = 2 - 1/2·9.806·(5/η)^2

Risolvendo tale equazione:

η = - √24515/20 ∨ η = √24515/20 m/s

η = 7.829 m/s

Considera che il motociclista compie un moto che possiamo scomporre in due moti: uno sull'asse $x$ e l'altro sull'asse $y$. Sappiamo che il motociclista si sposta di $5m-3m=2m$ in basso sull'asse $y$. La componente $y$ della sua velocità iniziale è $0m/s$, quindi abbiamo che $\frac{1}{2}gt^2=2m \implies t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2 \cdot 2m}{9.8m/s^2}} \approx 0.64s$. Quindi il motociclista deve percorrere orizzontalmente uno spazio di $5m$ nello stesso tempo $t$ sull'asse $x$. La componente $x$ della velocità non è soggetta ad accelerazioni, quindi abbiamo semplicemente un moto rettilineo uniforme, allora $V_0t=S \implies V_0=\frac{S}{t} = \frac{5m}{0.64s} \approx 7.8m/s$. Dato che la componente $y$ iniziale era $0m/s$, la velocità iniziale del motociclista è semplicemente $\vec{V_0}=7.8m/s\hat{x}$.

s(x)=5m , h1(y)=5m , h2(y)=3m , Vo=?

Per VoY: s=so+vot+1/2at^2 ; s=0+0t+1/2gt^2 ; Lo spostamento su Y e' h1-h2=2m=s ; 2m=1/2gt^2 , 4m=gt^2 ; t= sqrt(4m/g)= 2(sqrt(1m/g) =2(0,319 s)=0,638s ; t=0,638s e VoY=0m/s

Per VoX: s=so+vt ; s=0+vt ; Lo spostamento su X e' s=5m ; 5m=0,638s(VoX) ; VoX= 7,836m/s 

Vo= (VoX^2 +VoY^2)^(0,5) ; sqrt(0+(7,836m/s)^2) = 7,836m/s