[Risolto] Moto parabolico n.22

Nel moto uniformemente accelerato
$$
v^2=v_0^2+2 a \Delta s \text {, }
$$
quindi
$$
\begin{aligned}
v_{0 y}^2 & =v_{0 y}^2+2 g y \rightarrow \\
v_y & =\sqrt{v_{0 y}^2+2 g y}=\sqrt{\left(v_0 \sin 20^{\circ}\right)^2+2 g y}= \\
& =\sqrt{\left[(12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \sin 20^{\circ}\right]^2+2 \times(9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \times(10 \mathrm{~m})}=15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} .
\end{aligned}
$$

Perciò da $v_y=v_{0 y}+g t$ si ha
$$
t=\frac{v_y-v_{0 y}}{g}=\frac{(15 \mathrm{~m} / \mathrm{s})-\left[(12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \sin 20^{\circ}\right]}{9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2}=1,1 \mathrm{~s} .
$$

Infine:
$$
x=v_{0 x} t=\left(v_0 \cos 20^{\circ}\right) t=(12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \times\left(\cos 20^{\circ}\right) \times(1,1 \mathrm{~s})=12 \mathrm{~m} \text {. }
$$

Poco meno di cinquantadue metri e mezzo (v. ultimo paragrafo).
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NOTO UNA BRUTTA CONTRADDIZIONE FRA TITOLO E TESTO.
Il "Moto parabolico n.22" è un argomento del capitolo "Cinematica del punto materiale" che si tratta elaborando le espressioni di posizioni e velocità in funzione del tempo.
Invece "una finestra" è una superficie estesa, non la posizione di un punto.
E le leggi di posizione e velocità di "Una pallina lanciata da una finestra" si trovano risolvendo un problema di dinamica MOLTO complesso che dipende dal tipo di pallina (da baseball, da tennis, da ping pong, da schicchere sulla sabbia, ...) cioè da massa, tipo di superficie, sezione frontale, Cx, ... ed anche dal tipo di aria cioè da temperatura, densità, umidità, velocità del vento e sua direzione rispetto alla velocità di lancio, ...
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Per ridurre quel pessimo testo a un esercizio sul moto parabolico basta sostituire poche parole: "pallina" → "punto materiale"; "angolo di inclinazione" → "alzo"; "20 gradi sotto l'orizzontale" → "- 20°"; "finestra" → "posizione F"; "spostamento orizzontale ... prima di colpire il suolo" → "gittata".
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«Un punto materiale è lanciato, dalla posizione F(0, 10) m, con velocità iniziale di modulo V = 12 m/s ed alzo θ = - 20°. Si chiede quanto vale la gittata.»
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RIPASSO E NOMENCLATURA
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Un punto materiale lanciato dal punto Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) in un campo gravitazionale con accelerazione negativa di modulo g > 0 ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (vx(t), vy(t)) data da
* vx(t) = V*cos(θ)
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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MODELLO MATEMATICO
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Con i dati del caso
* h = 10 m
* V = 12 m/s
* θ = - 20° = - π/9 rad
si ha
* V*sin(θ) = 12*sin(- π/9) = - 12*sin(π/9)
* V*cos(θ) = 12*cos(- π/9) = + 12*cos(π/9)
* x(t) = 12*cos(π/9)*t
* y(t) = 10 + (- 12*sin(π/9) - (g/2)*t)*t
* vx(t) = 12*cos(π/9)
* vy(t) = - 12*sin(π/9) - g*t
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CALCOLI RISOLUTIVI
L'impatto al suolo avviene all'istante T > 0 per cui
* (y(T) = 10 + (- 12*sin(π/9) - (g/2)*T)*T = 0) & (g > 0) & (T > 0) ≡
≡ T = 2*√(g*(5*g + 36*sin^2(π/9)) - 6*sin(π/9))/g ~=
~= 4.65 s
da cui la gittata
* x(T) = 12*cos(π/9)*T ~=
~= 52.447 m