Moto parabolico

range R = Vo^2/g*sin (2*40°) = 100^2/(3,6^2*9,806)*0,9848 = 77,5 m 

Vi = Vo  con angolo 140° (40°Nord di Ovest) oppure -40° (40° Sud di Est)

hmax = (Vo*sin 40°)^2/2g = (100*0,6428)^2/(3,6^2*19,612) = 16,26 m

sen 40° = 0,6428

cos 40° = 0,7660

Reazione di scandalo
Se leggo "pallone" (sezione >= 400 cm^2) e "trascurando la presenza dell’aria e del vento" nello stesso periodo io penso che l'autore sia non solo un cretino che ignora lo scopo dell'insegnamento della Fisica, ma anche un ingannatore che alle giovani menti affidategli dalla Repubblica per istruirle propina false opinioni.
Se, alla fine del capitolo che tratta la cinematica del punto materiale, serve proporre una ventina di esercizi si dovrebbe avere la lealtà di chiamare il mobile "punto materiale" e non "pallone", "sasso", "proiettile", "corpo", "barca", "automobile", "nuotatore", ... poi dicendo di trascurare gli attriti (senza i quali "barca", "automobile", "nuotatore" non potrebbero muoversi!).
Versione non ingannevole dell'esercizio
Un punto materiale è lanciato da quota zero con alzo θ = 40° e velocità V = 250/9 m/s (= 100 km/h).
Si chiede di calcolare: quota di culmine, gittata, velocità d'impatto, equazione della traiettoria; e di tracciare il grafico della traiettoria.
Modello matematico
Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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Risoluzione
Con i dati
* h = 0
* θ = 40°
* V = 250/9 m/s
si ha (con approssimazione paragonabile a "g", sei cifre buone)
* sin(40°) = 664/1033
* cos(40°) = 1313/1714
da cui
* x(t) = (250/9)*(1313/1714)*t = (164125/7713)*t
* y(t) = 0 + ((250/9)*(664/1033) - (g/2)*t)*t = (166000/9297 - (196133/40000)*t)*t
* vx(t) = 164125/7713
* vy(t) = 166000/9297 - (196133/20000)*t
Inoltre ...
Il tempo di volo T > 0 è quello impiegato per tornare a quota zero
* ((166000/9297 - (196133/40000)*T)*T = 0) & (T > 0) ≡ T = 6640000000/1823448501
La gittata è
* xt(T) = 108979*10^10/14064258288213 ~= 77.486 m (culmine a x = 38.743 m)
La velocità d'impatto ha componenti
* vx(T) = 164125/7713
* vy(T) = - 166000/9297
e modulo
* v(T) = √((164125/7713)^2 + (- 166000/9297)^2) ~= 27.778 m/s ~= 100 km/h
L'equazione della traiettoria si ricava eliminando il tempo dalle coordinate
* (x = (164125/7713)*t) & (y = (166000/9297 - (196133/40000)*t)*t) ≡
≡ (t = 7713*x/164125) & (y = 1138096*x/1356329 - 11668024543077*x^2/1077480625000000) (culmine a y = 16.255 m)
che, con la solita approssimazione al millimetro, si scrive come
* y = 0.839*x - 0.011*x^2
e da questa si approssima il culmine come vertice della parabola: V(38.136, 15.998) ~= V(38, 16) m
NB: V(38.136, 15.998) ≠ (38.743, 16.255) ~= V(39, 16), che è la vera posizione del culmine.
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Grafico
Per il disegno l'approssimazione dev'essere al millimetro del foglio, non del mondo.
Si disegna su un foglio A4, 21.0 cm per 29.7 cm, con l'asse x sul lato lungo e l'origine a un dito dall'angolo in basso a sinistra.
In tal modo, ponendo il punto d'impatto a 280 mm dall'origine si occupa quasi tutta la larghezza.
Poi si pone il vertice all'ascissa x = 140 e all'ordinata y = (16/39)*140 = 2240/39 ~= 57: V(140, 57) mm e si traccia, punteggiato, l'asse di simmetria x = 140 mm.
Per calcolare in millimetri le coppie di punti simmetriche, cioè (140 ∓ k, y), si usa la forma approssimante
* y = 57 - 3*(x - 140)^2/100
che, per x = 140 ∓ k con k in millimetri, dà
* y = 57 - 3*k^2/1000
Dovrebbe venirti una traiettoria con la forma al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cx%5E2%2By%5E2%3D16%2Cy%3D57-3*%28x-140%29%5E2%2F1000%5D
dove il cerchietto rosso attorno all'origine serve solo a forzare la rappresentazione monometrica.