[Risolto] Moti relativi

Il grafico, rispetto alle coordinate date dal testo è questo

con la corrente che soffia a S70°O, l'obiettivo da raggiungere in una linea in direzione S20°E e la velocità del motoscafo che dobbiamo determinare, rappresentata dal vettore più a destra.

Così com'è, è abbastanza antipatico risolvere il problema, dato che tutti i vettori in gioco sono inclinati rispetto agli assi. Nota però che la corrente è inclinata di -70° rispetto all'asse y, mentre la destinazione è inclinata di +20°, quindi i due vettori formano un angolo di 90°.

Per comodità quindi, consideriamo un altro sistema di riferimento in cui "raddrizziamo" corrente e destinazione, disponendoli lungo gli assi x e y, in modo che solo la velocità del motoscafo è inclinata. In pratica ruotiamo tutto di 20° in senso orario per ottenere questo:

 Ora le cose sono molto più semplici!

In questo nuovo sistema di riferimento, la corrente spira solo verso sinistra, quindi le sue componenti sono:

$ v_C = (-20, 0) km/h$

La velocità del motoscafo, inclinato di un angolo incognito $\alpha$, ha componenti:

$ v_M = (55cos\alpha, 55sin\alpha)$

Dato che vogliamo procedere dritti verso il basso, dobbiamo fare in modo che nella velocità totale, la componente lungo l'asse x sia nulla:

$ v_x = v_{Cx} + v_{Mx} = 0$

$ -20 + 55cos\alpha = 0$

$ cos\alpha = \frac{20}{55}$

$ \alpha = arccos(\frac{20}{55}) =  -68.67 °$

(il meno si deduce dal fatto che siamo nel IV quadrante)

Ricordiamoci che avevamo ruotato tutto di +20° per trovarci nella situazione comoda, quindi nel sistema di riferimento iniziale l'angolo è:

$ \alpha' = 68.67° - 20° = 48.67°$

Questo angolo è calcolato rispetto all'asse x. Volendo dare il risultato in coordinate di bussola, quindi rispetto al sud, abbiamo:

$ 90 - 48.67 = 41.33° = 41° 19'$

E dunque ci troviamo a S41°19' E.

Per calcolare il tempo impiegato, ritorniamo nel sistema di riferimento "comodo" e troviamo la velocità totale. La velocità del motoscafo, con l'angolo calcolato è:

$ v_M = (55cos(-68.67), 55sin(-68.67)) = (20, 51.2)$

Quindi la velocità totale è:

$ v = (v_{Mx}+v_{Cx}, v_{My}+v_{Cy}) = (20-20, 51.2-0) = (0,51.2) km/h$

il suo modulo è ovviamente $|v| = 51.2 km/h$.

Dunque il tempo impiegato è:

$ t = s/v = 80km/ 51.2km/h = 1.56h = 1h 34 min$

Noemi

v' = 55 km/h  è la velocità relativa nel sistema dell'acqua.

vo = 20 km/h è la velocità di trascinamento, velocità del sistema di riferimento; Sud 70° W

v = velocità nel sistema di riferimento fisso.

Se non corregge la rotta:

v = v' + vo; somma dei due vettori, fra essi c'è un angolo di 20° + 70° = 90°;

v = radicequadrata(55^2 + 20^2) = radice(3425) = 58,52 km/h;

angolo fra v e vo:

tan(angolo) = 55/20 = 2,75;

angolo = tan^-1(2,75) = 70° Il motoscafo viaggerebbe esattamente in direzione Sud, invece che Sud 20° Est.

Bisogna correggere: 

nuova v' rispetto all'acqua:

v' = v - vo; 

v' = v + (- vo);

fra v = 55 km/h e  (- vo) c'è sempre un angolo di 90°;

v' = radice(55^2 + 20^2) = 58,52 km/h,

angolo alfa:

tan(alfa) = 20/55 = 0,364;

alfa = arctan(0,364) = 20°; rispetto al vettore v = 55 km/h

Direzione del vettore v' con correzione rispetto al Sud:

20° + alfa = 40°; Sud 40 ° Est;

v' = 58,52 km/h; Sud 40° Est,

S = 80 km;

t = S / v = 80 / 55 = 1,4545 h,

1 h + (0,4545 h * 60 minuti) = 1 h + 27 minuti;

S' percorso in realtà = 58,52 * 1,4545 = 85 km in direzione Sud 40° Est;

La corrente sposta di un vettore So = 20 * 1,4545 = 29 km/h in direzione Sud 70° Ovest;

S = radice(S'^2 - So^2) = radice(85^2 - 29^2) = 80 km nella direzione voluta Sud 20° Est.