[Risolto] Moti circolari

Si tratta di un moto ad accelerazione "a" costante, quindi modellato da
* s(t) = S + (V + (a/2)*t)*t
* v(t) = V + a*t
e, ai fini dell'elaborazione di tale modello, è irrilevante che s'abbia a che fare con grandezze lineari o angolari. Per le grandezze angolari "s" ed "S" sono radianti e non metri, quindi "v" e "v" sono rad/s ed "a" è in rad/s^2.
Il problema pone t = 0 all'inizio dell'accelerazione, fornisce
* s(10.2) = 510 giri
* s(15.4) = 900 giri
e chiede di determinare, oltre ad "a", anche
* v(0) = V
e la relativa velocità tangenziale V*r.
Perciò la posizione iniziale S è del tutto irrilevante e si può fissare lì l'origine degli angoli: s(0) = S = 0. Cioè
* s(t) = (V + (a/2)*t)*t
* v(t) = V + a*t
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Da
* diametro d = 14.0 cm = 7/50 m
* 10.2 = 51/5 s
* 15.4 = 77/5 s
* 510 giri = 2*π*510 = 1020*π rad
* 900 giri = 2*π*900 = 1800*π rad
si ricava
* raggio r = 7/100 m
* s(51/5) = (V + (a/2)*51/5)*51/5 = 1020*π
* s(77/5) = (V + (a/2)*77/5)*77/5 = 1800*π
da cui
* a = (500/77)*π ~= 20.4 rad/s^2
* V = (5150/77)*π ~= 210.12 rad/s
* V*r = (5150/77)*(7/100)*π = (103/22)*π ~= 14.708 m/s ~= 52.95 km/h

R = 14 cm/2 = 0.07 m

510 giri = 1020 TT radianti

900 giri = 1800 TT radianti

ora w(t) = wo + alfa t

e teta(t) = wo t + 1/2 alfa t^2

Si deve quindi avere

wo * 10.2 + alfa/2 * 10.2^2 = 1020 TT

wo * 15.4 + alfa/2 * 15.4^2 = 1800 TT

 

10.2 wo + 52.02 alfa = 1020 TT

15.4 wo + 118.58 alfa = 1800 TT

Risolvendo con WIMS

wo = 210.12 rad/s alfa = 20.4 rad/s^2

 

infine vo = wo R = 210.12 * 0.07 m/s = 14.71 m/s

Una ruota dentata di diametro 14,0 cm è inserita su un asse che sta ruotando con accelerazione angolare costante. La punta estrema di un dente compie 510 giri in 10,2 s dall'inizio dell'accelerazione. All'istante 15,4 s dall'inizio dell'accelerazione lo stesso dente ha compiuto 900 giri.

- Determina la velocità angolare ωo della ruota dentata all'inizio dell'accelerazione.

- Determina l'accelerazione angolare α della ruota dentata

- Determina la velocità V dell'estremo di un dente all'inizio dell'accelerazione. 

 

510 giri = 510*6,2832 = 3.204,4 radianti

900 giri = 3204,4*900/510= 5.654,9 radianti

 

{3.204,4 = ωo*10,2+α/2*10,2^2  (1)

{5.654,9 = ωo*15,4+α/2*15,4^2  (2)

moltiplico la (1) per il rapporto 15,4/10,2 ed ottengo :

4.838,1 = ωo*15,4+α/2*157,08  (3)

sottraggo la (3) dalla (2)

816,8 = α/2*(15,4^2-157,08) = 80,08α/2

accel. angolare α = 816,8*2/80,08 = 20,400 rad/sec^2

veloc. angolare iniziale ωo = (3204,4-10,20*10,2^2)/10,20 = 210,12 rad/sec 

velocità V dell'estremo di un dente all'inizio dell'accelerazione :

V = ωo*d/2 = 210,12*0,07 = 14,71 m/sec