[Risolto] Monotonia

il logaritmo naturale è una funzione crescente là dove è definita, ovvero quando l'argomento è >0. 

$e^x$ è crescente su tutto R e inoltre è sempre $>0$

Quindi 

$e^x+1$ è strettamente crescente e anche $>1$ su tutto R

quindi

$log(e^x+1)$ ha come campo di definizione reale tutto R, ed è una funzione composta di due funzioni crescenti, quindi è crescente.

altrimenti calcoli la derivata prima:

$f'(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$ che è sempre $>0$ su tutto R e questo implica che $f(x)$ cresce.

DIPENDE DALLA BASE b, CHE TU NON HAI INDICATO.
Sono lecite le basi reali diverse da zero e da ± uno.
Il logaritmo naturale si indica con "ln(argomento)".
Il logaritmo olomorfo si indica con "Log(argomento)" (con la maiuscola).
"log(argomento)" (con la minuscola) o significa "in qualunque base" oppure non è citato nei classici trattati di Analisi.
In questo caso non è vero che la discussione sull'andamento valga "in qualunque base" perciò avresti dovuto scrivere "log(base, argomento)".
Oppure con la base in deponente usando LaTeχ invece di un editor ISO-ANSI.
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* per b < 0, log(b, e^x + 1) ha valori complessi, con parte immaginaria costante (i*π) e parte reale log(|b|, e^x + 1).
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* per 0 < |b| < 1, log(|b|, e^x + 1) è decrescente ovunque.
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* per |b| > 1, log(|b|, e^x + 1) è crescente ovunque.
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PS
Invece di "monotonìa", che è la qualità d'essere "monòtono" (e si riferisce alla vita quotidiana), dovresti usare "monotonicità", che è la qualità d'essere "monotòno" (e si riferisce a cinque proprietà delle funzioni: {decrescente, discendente, costante, ascendente, crescente}).