[Risolto] monotonia successione

Consideriamo la funzione    g(x) = x^3/(x^4 + 1)    in [1, +oo[

è un sottoinsieme di R che contiene N. 

Derivando   g'(x) =  [ 3x^2*(x^4 + 1) - x^3*4x^3 ]/(x^4 + 1)^2 =

= (3x^2 - x^6)/(x^4 + 1)^2 =   x^2/(x^4 + 1) * (3 - x^4)

g'(x) >0   per   3 - x^4 > 0 =>   x^4 < 3 =>  x < rad_4 (3)

g(x) è crescente fino a rad_4 (3) che è compreso fra 1 e 2 per cui

già da 2 in poi la successione è decrescente

e quindi il massimo è il maggiore tra a1 e a2, mentre il minimo non esiste e l'estremo

inferiore è 0   ( limite per n -> oo)

a1 = 1^3/(1^4 + 1) = 1/2

a2 = 2^3/(2^4 + 1) = 8/17

La successione è quindi monotona decrescente.

Sarebbe decisamente più laborioso provare che risulta a(n+1) - a(n) < 0 direttamente