[Risolto] Monotonia, massimi, minimi, flessi a tg orizz., f(x) crescenti o decrescenti.

y = x·LN(ABS(x)) - 1/4·x^2

la riscriviamo nella forma:

y = x·LN(x^2)/2 - x^2/4

che ammette come derivate:

y' = LN(x^2)/2 - x/2 + 1

y''= 1/x - 1/2

La funzione assieme alle sue prime derivate non è definita in x=0.

Condizioni agli estremi del C.E.

LIM(x·LN(x^2)/2 - x^2/4) = -∞

x → -∞

LIM(x·LN(x^2)/2 - x^2/4) = -∞

x → +∞

La funzione è illimitata inferiormente essendo continua in R\{0} deve avere punti di stazionarietà (max e/o min relativi)

LIM(x·LN(x^2)/2 - x^2/4) = 0

x → 0-

LIM(x·LN(x^2)/2 - x^2/4) = 0

x → 0+

quindi x=0 è un punto di discontinuità di 3^ specie.

Non ammette asintoti obliqui. Flesso in :

y''=0----> x = 2

Con il metodo di Newton puoi risalire agli zeri della funzione:

x·LN(x^2)/2 - x^2/4 = 0----> e^(x/2) - x^2 = 0 ∨ x = 0

esaminando l'equazione e^(x/2) - x^2 = 0    ---> f(x)=0

Xn+1=Xn-f(x)/f'(x)  con f'(x)=e^(x/2)/2 - 2·x

(ultimo rapporto valutato in Xn)

X0=-2

X1=-1.131889845

X2= -0.8518907494

X3= -0.8161503298

X4= -0.8155535850 

Quindi possiamo prendere x = -0.816

Analogamente si ottengono gli altri zeri: vedi grafico sotto:

Per i punti stazionari considera tale metodo scegliendo punti di partenza opportuni e considerando l'annullamento della y': lascio a te il calcolo tedioso..