[Risolto] Monotonia, massimi, minimi, flessi a tg orizz., f(x) crescenti o decrescenti.

$ y(x) = \frac{1+sinx}{1-cosx} $

• Dominio = ℝ\{2kπ};     con  $k \in \mathbb{Z}$ 
  • La funzione è continua e derivabile laddove definita

• Derivata prima. $ y'(x) = \frac{cosx - sinx -1}{1-cosx)^2} $
  • Studiamone il segno.

$ y'(x) ≥ 0 \; ⇔ \; cosx - sinx -1 ≥ 0 \; ⇔ \; $

Usiamo la tecnica dell'angolo aggiunto applicato al termine cosx - sinx

$ \; ⇔ \;  \sqrt{2} cos(\frac{\pi}{4}+x ) -1 \ge 0 $

$ \sqrt{2} cos(\frac{\pi}{4}+x ) \ge 1 $

$ cos(\frac{\pi}{4}+x ) \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ - \frac{\pi}{4} +2k\pi \le \frac{\pi}{4} + x \le \frac{\pi}{4} +2k\pi $

$ - \frac{\pi}{2} +2k\pi \le  x \lt 2k\pi; $     la y(x) non è definita per x = 0

0_________π_____-π/2____2π

-------------------------0+++++    cosx-sinx-1

+++++++++++++++++++X    (1-cosx)²

-------------------------0++++X      y'(x)

...............↘.............=....↗...X       y(x) 

• Punto stazionario. x = 3π/2
  • è un punto di minimo dove la funzione vale f(3π/2) = 0.

Conclusione.

i) La funzione y(x) è crescente negl'intervalli $[- \frac{\pi}{2} +2k\pi, 2k\pi)$ con $k \in \mathbb{Z} $

ii) la funzione ha minimi per $x = \frac{3\pi}{2} +2k\pi; $ con $k \in \mathbb{Z} $ infatti e decrescente alla sinistra del punto e crescente alla sua destra.