Monotonia e Punti stazionari

$ y(x) = \sqrt{4x-x^3} = \sqrt{x(4-x^2)} $

• Dominio e segno y(x)

_____-2______0______2______

-----------------0+++++++++++   x

--------0++++++++++0---------   4-x²

++++0--------0+++++0---------   x(4-x²)

++++0XXXXX0++++0XXXXXX   y(x) = √x(4-x²)

• Dominio = (-∞, -2] U [0, 2]

• Segno

1. 1. f(x) < 0  Ø
   2. f(x) = 0  per x = -2; x = 0; x = 2
   3. f(x) > 0  in (-∞, -2) e in (0, 2)

• Monotonia. tramite segno derivata prima.
  • derivata prima. $ y'(x) = \frac{4-3x^2}{2\sqrt{4x-x^3}} $
  • Segno derivata prima

_____-2____-2/√3____0____2/√3____2______

++++XXXXXXXXXXXX++++++++++XXXXXX   denominatore

-----------------0++++++++++0-----------------     4-3x²

-------XXXXXXXXXXXX+++++0--------XXXXXX     y'(x)

1. y'(x) < 0   in (-∞, -2)  e in (2/√3, 2). La funzione y(x) è decrescente in ciascun intervallo
2. y'(x) > 0   in (0, 2/√3) La funzione y(x) è crescente
3. y'(x) = 0   per x = 2/√3. E' il solo punto stazionario che dall'esame della monotonia risulta essere un massimo locale.

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/zjv1ji1hsk  

Certo, ecco la soluzione all'esercizio in italiano, con gli stessi passaggi dettagliati:

Esercizio 5 (15 punti): Studia la monotonia e determina eventuali punti stazionari della seguente funzione: y=4x−x3<img class="katex-svg" src="data:;base64,​

Guida passo-passo per risolvere il problema:

1. Determinare il Dominio della Funzione: L'espressione sotto la radice quadrata deve essere non negativa. Quindi, 4x−x3≥0. Fattorizziamo $x$: x(4−x2)≥0. Fattorizziamo la differenza di quadrati: $x(2-x)(2+x)\ge 0$. Troviamo le radici: $x=0,x=2,x=-2$. Usiamo una tabella dei segni o testiamo gli intervalli per determinare dove l'espressione è non negativa.

   | Intervallo | Punto di Test | $x$ | $(2-x)$ | $(2+x)$ | $x(2-x)(2+x)$ | Risultato | | :---------------- | :--------- | :------ | :------ | :------ | :------------ | :----- | | $x<-2$ | $-3$ | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ | $\ge 0$ | | $-2<x<0$ | $-1$ | $-$ | $+$ | $+$ | $-$ | $<0$ | | $0<x<2$ | $1$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $\ge 0$ | | $x>2$ | $3$ | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ | $<0$ |

   Il dominio corretto è: $(-\infty ,-2]\cup [0,2]$.

2. Calcolare la Derivata Prima (y′): Riscriviamo la funzione come y=(4x−x3)1/2. Usiamo la regola della catena: y′=21​(4x−x3)−1/2⋅dxd​(4x−x3). y′=24x−x3<img class="katex-svg" src="data:;base64,​1​⋅(4−3x2). Quindi, y′=24x−x3<img class="katex-svg" src="data:;base64,​4−3x2​.

3. Trovare i Punti Stazionari: I punti stazionari si verificano dove y′=0 o dove y′ è indefinita (ma la funzione è definita).

   • y′=0: Questo accade quando il numeratore è zero: 4−3x2=0. 3x2=4⟹x2=34​⟹x=±34​<img class="katex-svg" src="data:;base64,​=±3<img class="katex-svg" src="data:;base64,​2​=±323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​. Verifichiamo se questi valori sono nel dominio della funzione $(-\infty ,-2]\cup [0,2]$. x=323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​≈1.155. Questo valore è nel dominio $[0,2]$. x=−323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​≈−1.155. Questo valore non è nel dominio $(-\infty ,-2]\cup [0,2]$. Quindi, l'unico punto stazionario vero e proprio dove y′=0 è x=323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​.

   • y′ è indefinita: Questo accade quando il denominatore è zero: 24x−x3<img class="katex-svg" src="data:;base64,​=0, il che significa 4x−x3=0. Dal passaggio 1, sappiamo che questo si verifica per $x=-2,x=0,x=2$. Questi sono punti critici in cui la tangente potrebbe essere verticale (punta o tangente verticale). Se la funzione è definita in questi punti, sono spesso considerati parte dell'analisi per gli estremi locali.

4. Studiare il Segno della Derivata Prima (y′): Per determinare la monotonia, dobbiamo analizzare il segno di y′ nel dominio. Il denominatore 24x−x3<img class="katex-svg" src="data:;base64,​ è sempre positivo dove definito (essendo una radice quadrata). Quindi, il segno di y′ dipende dal segno del numeratore: 4−3x2.

   • 4−3x2>0⟹3x2<4⟹x2<34​⟹−323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​<x<323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​.
   • 4−3x2<0⟹3x2>4⟹x2>34​⟹x<−323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​ o x>323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​.

   Ora, combiniamo questo con il dominio della funzione $(-\infty ,-2]\cup [0,2]$:

   • Intervallo $(-\infty ,-2]$: Per $x<-2$, abbiamo x<−323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​. Quindi 4−3x2<0. Perciò, y′<0. La funzione è decrescente.

   • Intervallo [0,323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​): Per 0<x<323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​, abbiamo −323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​<x<323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​. Quindi 4−3x2>0. Perciò, y′>0. La funzione è crescente.

   • A x=323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​: y′=0. Poiché la funzione cambia da crescente a decrescente, c'è un massimo locale in x=323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​. Calcoliamo la coordinata y: y(323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​)=4(323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​)−(323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​)3<img class="katex-svg" src="data:;base64,​=383<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​−278⋅33<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​<img class="katex-svg" src="data:;base64,​=383<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​−983<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​<img class="katex-svg" src="data:;base64,​=9243<img class="katex-svg" src="data:;base64,​−83<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​<img class="katex-svg" src="data:;base64,​=9163<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​<img class="katex-svg" src="data:;base64,​=9<img class="katex-svg" src="data:;base64,​16<img class="katex-svg" src="data:;base64,​3<img class="katex-svg" src="data:;base64,​<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​=3443<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​. Quindi, un massimo locale esiste in (323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​,3443<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​).

   • Intervallo (323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​,2]: Per 323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​<x<2, abbiamo x>323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​. Quindi 4−3x2<0. Perciò, y′<0. La funzione è decrescente.

   • Punti in cui y′ è indefinita (ma la funzione è definita): Questi sono $x=-2,x=0,x=2$.

     • A $x=-2$: La funzione è definita. Su $(-\infty ,-2]$, la funzione è decrescente. Questo è un punto estremo del dominio.
     • A $x=0$: La funzione è definita. Su [0,323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​), la funzione è crescente. Questo è un punto estremo del dominio e un punto in cui la derivata è indefinita (tangente verticale).
     • A $x=2$: La funzione è definita. Su (323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​,2], la funzione è decrescente. Questo è un punto estremo del dominio e un punto in cui la derivata è indefinita (tangente verticale).

Riepilogo Finale:

• (−∞,−2]∪[0,2].
• Decrescente su $(-\infty ,-2]$.
• Crescente su [0,323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​].
• Decrescente su [323<img class="katex-svg" src="data:;base64,​​,2].