Buonasera, chiedo cortesemente se qualcuno potesse spiegarmi perché il momento di inerzia di un cilindro, rispetto al suo asse, dipende dal raggio e non dall'altezza, perciò il momento di inerzia di un disco vale la stessa formula ovvero I=1/2mr². Ringrazio
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Livello 2
@socrate... fino a qualche lustro fa (indicativamente fino alla seconda metà degli anni '70 del secolo scorso) era in uso il PD^2, ove P era il peso in kg e D il diametro esterno; anche le forze si misuravano in kg, e nei cataloghi tecnici si parlava di peso in kg e non di Newton, salvo poi trasformare nell'immediato, quei kg in daN (decaNewton). Parlando, ad esempio, di scaricatori portuali a benna, ove fondamentale era il così detto tempo di "free wheeling" (o tempo medio del ciclo di scarico contrattuale), la gloriosa Ceretti e Tanfani (allora sita a Milano in via Durando, Bovisa) ci mandava tutte le inerzie della loro parte in forma di PD^2, cui noi sommavamo quelle dei nostri motori e freni allo scopo di verificare che la dinamica richiesta potesse essere rispettata !!
Perché il momento di inerzia rispetto all'asse è dato dalla distribuzione della massa del cilindro rispetto al suo asse. Si può calcolare quindi dal contributo dato da infinite masse elementari
ρ*dV*r^2=ρ*(dA*H)*r^2
Quindi si ottiene per integrazione tenendo presente che M=massa del cilindro = (A*H)*ρ
Quindi lo spessore H può avere qualsiasi valore.
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Genius III
I = m*r*2/2
m = π*r^2*h*ρ
I = (π*r^2*h*ρ)*r^2/2 = π/2*ρ*h*r^4
come vedi anche l'altezza è nel conto, nascosta nella massa
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Genius III
👍 👍 👍
Brevemente si può dimostrare che l' uno si ottiene dall' altro tramite una moltiplicazione e divisione per h.
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Livello 7
Perché il momento di inerzia di un cilindro, rispetto al suo asse, dipende dal raggio e non dall'altezza, perciò il momento di inerzia di un disco vale la stessa formula ovvero I=1/2mr².
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Parlando di un cilindro pieno con asse centrato il dato dell'altezza influisce solo sulla massa e non nel momento d'inerzia dove invece è importante la media della distanza al quadrato cioè la media dei raggi al quadrato, quindi:
$\small m=$ massa;
$\small r=$ raggio minore (interno);
$\small R=$ raggio maggiore (esterno);
momento d'inerzia $\small I= \dfrac{1}{2}(R^2-r^2)·m$
però il raggio minore si elimina poiché essendo posizionato sull'asse di rotazione vale: $\small r= 0$
per cui il momento d'inerzia si riduce a:
$\small I= \dfrac{1}{2}·R^2·m$
(o come hai indicato tu $\small I= \dfrac{1}{2}·m·r^2 $ dove con $\small r $ si intende il raggio esterno).
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Genius I
@gramor 👍👌👍
@gramor Grazie MILLE !
@remanzini_rinaldo - Grazie Rinaldo, buon pomeriggio.
@socrate - Grazie a te, buon pomeriggio.
