Momento angolare n. 60

Ι = 1/2·Μ·r^2 = momento di inerzia della carrucola

Μ = 2.4 kg = massa carrucola

r = 0.11 m = raggio carrucola

Ι = 1/2·2.4·0.11^2----> Ι = 0.01452 kgm^2

Conservazione dell'energia meccanica del sistema:

m·g·h = 1/2·m·v^2 + 1/2·Ι·ω^2

(con partenza da fermo ed assenza di attriti)

v = ω·r = velocità della massa m ----> ω = v/r

(velocità angolare carrucola nel tratto di discesa di h = 1 m della massa m)

m·g·h = 1/2·m·v^2 + 1/2·Ι·(v/r)^2

m·g·h = v^2·(m·r^2 + Ι)/(2·r^2)

Risolvo in v (velocità finale di discesa di h= 1 m):

(m = 0.5 kg; g = 9.806 m/s^2; h = 1 m; r = 0.11 m; Ι = 0.01452 kgm^2)

ottengo:

v = √(2·0.5·9.806·1·0.11^2/(0.5·0.11^2 + 0.01452))  m/s

v = 2.402 m/s (circa)

ω = v/r = 2.402/0.11 = 21.836 rad/s

• Soluzione ch fa uso del moto traslato

dall'equivalenza m*V^2 = I*ω^2, considerando la carrucola essere una massa omogenea e tenendo conto che ω vale V/r, si ottiene che la massa della carrucola mc può essere vista come una massa mce = mc/2 da sommare alla massa appesa m , pertanto

accelerazione a = m*g/(m+mce) = 9,8066*0,50/(1,2+0,5) = 2,8843 m/s^2

2h = a*t^2

tempo t = √1*2/2,8843 = 0,8327 s

velocità tangenziale V = a*t = 2,8843*0,8327 = 2,4018 m/s

velocità angolare ω = V/r = 2,4018/0,11 = 21,834 rad/s 

bonus : 

Q. di M. = p = (m+mce)*V = 1,7*2,4018 = 4,083 kg*m/s 

momento angolare L = p*r = 4,083*0,11 = 0,449 kg*m^2/s
 

α = accelerazione angolare della carrucola; 

a = α * r = accelerazione lineare del peso;

I = 1/2 M r^2  = momento d'inerzia del disco;

F peso = 0,50 * 9,8 = 4,9 N;

Sulla massa m agiscono la forza peso verso il basso e la tensione del filo T verso l'alto;

la massa scende con accelerazione a;

mg - T = m a ;  (1)   forza risultante sul corpo di massa m

Momento della forza agente sulla carrucola: (raggio) * (Tensione della fune) * sen(90°) ;

tra raggio e Tensione c'è un angolo di 90°; sen90° = 1;

Momento della forza = r * T;

I * α = r * T;  (2)

α = a / r;

r T = (1/2 M r^2) * a/r; semplificando r, rimane: 

T = 1/2 M a, (2)   sostituiamo T nella  (1)

mg - T = m a ;  (1)

mg - 1/2 M a = m a;  troviamo a;

m a + 1/2 M a = m g;

 a =  m g / (m + 1/2 M);

a = 4,9 / (0,50 + 2,4/2);

a = 4,9 / 1,7 = 2,88 m/s^2;

accelerazione angolare  α :

α = a / r = 2,88 / 0,11 = 26,2 rad/s^2;

troviamo il tempo di discesa per h = 1 metro:

1/2 a t^2 = 1;

1/2  * 2,88 * t^2 = 1

t = radicequadrata(2 * 1 / 2,88) = 0,83 s;

v = a * t = 2,88 * 0,83 = 2,39 m/s; velocità; 

velocità angolare della carrucola:

ω = α t = 26,2 * 0,83 = 21,75 rad/s.

Ciao  @socrate

Ho usato le leggi del moto e la dinamica del moto rotatorio. 

• Soluzione ch fa uso del moto rotatorio

dall'equivalenza m*V^2 = I*ω^2, considerando la carrucola essere una massa omogenea e tenendo conto che ω vale V/r, si ottiene che la massa traslante m  può essere vista come una massa me = 2m da sommare alla massa della carrucola mc, pertanto :

massa totale mt = mc+me = 2,4+2*0,5 = 3,4 kg

momento di inerzia I = mt/2*r^2 = 1,7*0,11^2 = 0,020570 kg*m^2

momento motore M = m*g*r = 0,50*9,8066* 0,11 = 0,53936 N*m

accelerazione angolare α = M/I = 0,53936/0,020570 = 26,221 rad/s^2

accelerazione tangenziale a = α*r = 26,221*0,11 = 2,8843 m/s^2

....si ottiene una accelerazione tangenziale a del tutto uguale a quella calcolata nella soluzione che fa uso del moto traslato

2h = a*t^2

tempo t = √1*2/2,8843 = 0,8327 s

velocità tangenziale V = a*t = 2,8843*0,8327 = 2,4018 m/s

velocità angolare ω = V/r = 2,4018/0,11 = 21,834 rad/s 

bonus : 

momento angolare L = I*ω = 0,020570*21,834 = 0,449 kg*m^2/s

quantità di moto p = L/r = 0,449/0,11 = 4,083 kg*m/s

....che sono gli stessi valori calcolati nella soluzione che fa uso del moto traslato