[Risolto] mi servirebbe l'intersezione con gli assi, lo studio del segno e asintoti di questa funzione

per prima cosa io scriverei $cos(\pi x)+sin(\pi x)=\sqrt{2}sin(\pi x+\frac{\pi}{4})$

Quindi la funzione diventa:

$f(x)=Ae^{-\pi x}sin(\pi x+\frac{\pi}{4})$

dove $A=\pi\sqrt{2}*10^{-4}$ è una costante positiva

Relativamente al segno, sappiamo che $A>0$ e che $e^{-\pi x}>0$ per ogni $x$.

Quindi il segno è dato soltanto dal segno di $sin(\pi x+\frac{\pi}{4})$ che chiaramente è periodica di periodo in x pari a 2. In particolare:

$f(x)>0$ per $-\frac{1}{4}+2k<x<\frac{3}{4}+2k$

$f(x)<0$ per $\frac{3}{4}+2k<x<\frac{7}{4}+2k$

deve $k=0,1,2,3,...$

ogni volta che $f(x)$ cambia di segno significa che attraversa l'asse delle $x$ e quindi individua uno zero della funzione. Tali zeri sono pertanto:

$x=-\frac{1}{4}+2k$ e $x=\frac{3}{4}+2k$

la parte sinusoidale è confinata fra -1 e +1, mentre l'esponenziale è decrescente. Per x=0 la funzione vale:

$f(0)=A*e^0cos(0)=A=\pi\sqrt{2}*10^{-4} $

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ in quanto l'esponenziale va a 0 e il seno è limitato.

Il grafico seguente suppone $A=1$ per ragioni di scala (altrimenti non si vedrebbe nulla):

Commento: è un tipico andamento di un'oscillazione smorzata con inviluppo esponenziale 🙂