Mi aiutate con il numero 56 ,la lettera c e la lettera d,nel verificare i limiti mi mandate tutti i passaggi?

Scriviamo la definizione di limite applicata al tuo caso

$ \forall \epsilon > 0 \quad \exists M > 0  \; t.c. \; \forall x \gt M  \quad \text{si ha} \; |\frac{1}{2^{\frac{2}{x}}-2} +1| < \epsilon $

Si tratta, a partire dall'ultima disequazione di trovare un M reale positivo.

$ -ε < \frac{1}{2^{\frac{2}{x}}-2} +1 < ε $

Dal grafico osserviamo che la funzione tende a -1 dal basso (-1⁻) possiamo così impostare una disequazione ancor più restrittiva

$ -ε < \frac{1}{2^{\frac{2}{x}}-2} +1 < 0 $

Se va bene per lo 0 andrà ancor meglio per ε

i) 2° disequazione 

$ \frac{1}{2^{\frac{2}{x}}-2} +1 < 0 $  

Questa è vera per x > 2. Il nostro limite è per x → +∞ possiamo non considerare il comportamento nell'intorno di 2.

Rimane da verificare la prima

ii) 1° disequazione

$ -ε < \frac{1}{2^{\frac{2}{x}}-2} +1  $

$ -(1+ε) < \frac{1}{2^{\frac{2}{x}}-2} $   Entrambi i termini sono negativi per x > 2. Rendiamoli positivi moltiplicandoli per  -1

$ (1+ε) > \frac{1}{2-2^{\frac{2}{x}}} $

$ 2-2^{\frac{2}{x}} > \frac{1}{(1+ε)} $

$ 2- \frac{1}{(1+ε)} > 2^{\frac{2}{x}} $  Applichiamo il log in base 2 che è una funzione crescente

$ log_2 (2- \frac{1}{(1+ε)}) > log_2 (2^{\frac{2}{x}}) $

$ log_2 (2- \frac{1}{(1+ε)}) > \frac{2}{x} $

$ x > \frac{2}{log_2 (2- \frac{1}{(1+ε)}) } $

Il nostro M è così:

$ M = \frac{2}{log_2 (2- \frac{1}{(1+ε)}) } $