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Livello 1
@ris è veramente complicato devi riportarti al limite notevole:
lim(n ---> + ∞) (1 - 1/n)^n = e^-1 = 1/e .
Ho provato a svolgerlo per vedere se riuscivo. Ciao.
Figurati x noi studenti, troppo difficile
lim(x ---> + ∞) (1 + 1/x)^x = e (numero di Nepero 2,71828...). ( Limite notevole fondamentale in analisi).
lim(x ---> + ∞) (1 - 1/x)^x = e^-1 = 1/e ;
numeratore (1 - x)^2x = [(1 - x)^2 ]^x = [1 + x^2 - 2x]^x,
denominatore (1 + x^2)^x;
[(1 + x^2 - 2x) /(1 + x^2)]^x = [(1 + x^2)/(1 + x^2) - 2x /(1 + x^2)]^x =
= [1 - 2x /(1 + x^2)]^x =
= {1 - 1 /[(x^2 + 1)/2x]} ^ {x * [2x/(x^2 + 1)] * (x^2 + 1)/2x} ;
se chiamiamo (x^2 + 1) /2x = n
= {1 - 1/n}^{n * [2x^2/(x^2 +1)]}
{1 - 1/n}^n, tende a 1/e, per n che tende all'infinito;
dividiamo per x^2 l'altro esponente: 2x^2/(x^2 + 1)
2x^2/(x^2 + 1) = 2 / (1 + 1/x^2); per x che tende all'infinito diventa:
= 2/1 ;
lim(x ---> + ∞){1 - 1/n}^{n * [2 / (1 + 1/x^2)]} =
= (1/e)^2.
Ciao @ris
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Genius II
@mg grazie ora me lo vedo,comunque sono limiti un po più difficili
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Livello 7
@eidosm non ho capito il 3 passaggio escluso la traccia
Ho separato la frazione per riscriverla come 1 - 1/Q dove Q tende all'infinito, per usare un limite notevole.
@eidosm ok e poi il 4 passaggio?non l ho proprio capito
Ho moltiplicato e diviso l'esponente per quello che mi serve per arrivare a (1 - 1/u)^u con u -> oo. Questo é un limite notevole che vale 1/e