Mi aiutate a capire come risolvere?

Es. 2

(1) Con(1-i)² = Con(1²-2i+i²) = Con (1-2i-1)² = Con -2i = +2i

(2) (1/2-i) -i(i-2/3) = (1/2-i) - (-1-2/3i) = 1/2-i +1+2/3 i = 3/2 -1/3i

(3) 1/(5-i) = (5+i)/((5-i)(5+i) = (5+i)/(5²+1²) = 5/26 +i/26

Es. 3

z = -1/2 -1/2i per cui |z| = √(-1/2)²+(-1/2)²) = √(1/4+1/4) = 1/√2 = √2/2

z = (1+i)(2+3i) ricordiamo che il modulo di un prodotto è eguale al prodotto dei moduli, questa osservazione ci permette di non sviluppare il prodotto

|z| = |1+i|*|2+3i| = [√(1²+1²)]*[√(2²+3²] = √2 * √13 = √26 

Esercizio 2 già risolto

Esercizio 3

ABS(z) = √(a^2 + b^2) = √((- 1/2)^2 + (- 1/2)^2)

ABS(z) = √2/2

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z=(1 + i)·(2 + 3·i)  = -1 + 5·i

|z|=√((-1)^2 + 5^2) = √26      |z| = 5.099019513 = circa 5,1

La rappresentazione cartesiana dei due numeri è in allegato sotto: la lunghezza dei vettori rappresenta il modulo richiesto.

Mi sembra di capire dalla tua raffica di domande sulle banalità dell'aritmetica complessa che l'aiuto di cui hai bisogno sia solo uno stringato ripasso un po' più breve ed organizzato dei tuoi appunti, evidentemente così dispersivi da confonderti le idee.
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RIPASSO
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A) Nomi, formule, definizioni
Con
* i: unità immaginaria tale che i^2 = 1
* e^(i*θ) = cos(θ) + i*sin(θ): "fòrmula di Eulero"
* e^(i*π) = - 1: "fòrmula del Diavolo" (Eulero, ~ 1748)
* x, y, ρ, θ: reali
* ρ > 0
* 0 <= θ < 2*π
si definiscono
A1) z = x + i*y = ρ * e^(i*θ) = ρ * (cos(θ) + i*sin(θ))
A2) z' = x - i*y
A3) |z| = ρ = |x + i*y| = √(z*z') = √(x^2 + y^2)
A4) Re[z] = Re[z'] = x
A5) Im[z] = - Im[z'] = y
A6) θ = arg(z) per distinzione di casi
* per x < 0: θ = π + arctg(y/x)
* per x = 0: θ = π/2
* per x > 0: θ = arctg(y/x)
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B) Operazioni
B1) (a + i*b) ± (u + i*v) = (a ± u) + i*(b ± v)
B2) (a + i*b) * (u + i*v) = (a*u - b*v) + i*(b*u + a*v)
la divisione è un po' impicciosa
B3) (a + i*b) / (u + i*v) =
= (a + i*b)*(u - i*v)/((u + i*v)*(u - i*v)) =
= ((a*u + b*v) + i*(b*u - a*v))/(u^2 + v^2) =
= (a*u + b*v)/(u^2 + v^2) + i*(b*u - a*v)/(u^2 + v^2)
con l'inverso
B4) 1/(u + i*v) = u/(u^2 + v^2) - i*v/(u^2 + v^2)
ed anche la potenza intera
B5) z^n = (x + i*y)^n =
= (ρ^n)*e^(i*n*θ) = (ρ^n)*cos(n*θ) + i*(ρ^n)*sin(n*θ)
e non ti dico la radice intera, anzi le n radici n-me!
B6) radice principale w[0]: z^(1/n) = (x + i*y)^(1/n) =
= (ρ^(1/n))*e^(i*θ/n) = (ρ^(1/n))*cos(θ/n) + i*(ρ^(1/n))*sin(θ/n)
radici w[k], k in [0, n - 1]:
B7) w[k] = (ρ^(1/n))*cos(θ/n + k*2*π/n) + i*(ρ^(1/n))*sin(θ/n + k*2*π/n)
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QUALCHE ESERCIZIO
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2.1) B5, A2
2.2) B2, B1
2.3) B4
3.2) B2, A3
6) https://www.sosmatematica.it/forum/postid/19060/