Metodo-teorema di Ruffini

Ciao @francescom18

Ho il polinomio:

P(t)=t^3 - 13·t - 12

Gli zeri sono da ricercarsi fra i divisori del termine noto:

DIVISORS(12) = [±1,± 2, ±3, ±4,± 6, ±12]

Per il teorema di Ruffini si ha:

P(-1)=(-1)^3 - 13·(-1) - 12=0

P(t) è divisibile per (t+1)

P(-3)=(-3)^3 - 13·(-3) - 12= 0

P(t) è divisibile per (t + 3)

Rimane l'ultimo fattore: questo lo possiamo ricavare tramite la Regola di Ruffini

tramite divisione in cascata:

.....| 1.......//.......-13|-12

..-1|.........-1.........+1|+12

---------------------------------

.....|1......-1.......|-12  //

..-3|.......-3........|+12

--------------------------------

....|1......-4|...........//

(t + 1)·(t + 3)·(t - 4)

Il polinomio é monico 

cercherai quindi un eventuale zero tra i divisori di 12 

che sono (1,2,3,4,6,12) e i loro opposti

proviamo 1   : p(1) = 1 - 13 - 12 = -24 =/= 0 => non va

proviamo -1 : p(-1) = -1 + 13 - 12 = 0 

una chiave di scomposizione é dunque -1

p(t) = [t - (-1)] q(t) = (t + 1) q(t)

applicando la regola di Ruffini 

 

          1    0   -13    |  -12

  -1   |   -1        1     |  12

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          1     -1   -12   |   0 

 

q(t) = (t^2 - t - 12)      trinomio caratteristico monico

q(t) = t^2 - 4t + 3t - 12 =

= t(t - 4) + 3(t - 4) =

= (t+3)(t - 4)

 

p(t) = (t+1)(t+3)(t-4)

 

 

Se un polinomio monico con termine noto razionale ha zeri razionali essi sono tutti e soli fra i divisori del termine noto che in questo caso (12) è intero e quindi ha solo i divisori interi
* D = {d} = {- 12, - 6, - 4, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}
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La Regola di Ruffini, che produce quoziente (q(t), che non interessa la ricerca degli zeri) e resto (che se è zero individua uno zero) della divisione fra un polinomio (p(t) in questo caso) e un binomio monico ((t - d) in questo caso), è un modo di valutare p(d) con meno moltiplicazioni che valutando i singoli monomi.
Per valutare il polinomio dato per monomi
* p(t) = t^3 - 13*t - 12 = t*t*t - 13*t - 12
si fanno tre moltiplicazioni e due sottrazioni.
Per valutarlo con la Regola di Ruffini
* p(t) = t^3 - 13*t - 12 = (t^2 - 13)*t - 12 = (t*t - 13)*t - 12
le sottrazioni sono ancora due, ma s'è risparmiata una moltiplicazione (33%).
Il risparmio è tanto più alto quanto più è alto il grado del polinomio e quanto più questo è completo.
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Quindi per tentare di scomporre con la Regola di Ruffini il dato polinomio
* p(t) = (t*t - 13)*t - 12
(che, essendo di grado dispari, ha almeno uno zero reale) lo si valuta sui divisori del dodici e si vede se fra le coppie {d, p(d)} si trova un p(d) = 0; al primo che si trova si scrive la scomposizione
* p(t) = (t - d)*q(t)
dove q(t) è il quoziente (anzi, il quoto) appena prodotto dalla Regola; di secondo grado e quindi scomponibile con la solita procedura di Bramegupta.
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Essendo passati 213 anni da quando il Magnifico Rettore dell'Università di Modena l'ha pubblicata oggi il risparmio di moltiplicazioni non è più motivo d'interesse (salvo che nei videogiochi e altre applicazioni grafiche) perciò con un programma di una sola riga io le valutazioni te le mostro tutt'e dodici
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%7Bt%2C%28t*t-13%29*t-12%7D%2C%7Bt%2C%7B-12%2C-6%2C-4%2C-3%2C-2%2C-1%2C1%2C2%2C3%2C4%2C6%2C12%7D%7D%5D
dove di zeri razionali se ne trovano tre e quindi nemmeno ti serve Bramegupta.