[Risolto] Metodo Ruffini

Penso proprio di sì, di riuscire a spiegartelo "come fare questo esercizio", ma solo dopo aver precisato alcune notizie che evidentemente non hai avuto (eri assente? hai dimenticato di studiare il capitolo che precede "questo esercizio"? o che altro?).
NON ESISTE ALCUN "Metodo Ruffini".
Esiste una procedura per tentare di abbassare il grado di un polinomio monico con termine noto razionale estraendone un eventuale zero razionale applicando la Regola di Ruffini.
La Regola di Ruffini è un algoritmo di calcolo per valutare un polinomio p(x) nell'ascissa x = r con un ridotto numero di moltiplicazioni rispetto alla forma canonica e che, come sottoprodotto, genera il vettore dei coefficienti del polinomio q(x) tale che
* p(x) = (x - r)*q(x) + p(r)
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"QUESTO ESERCIZIO"
consiste di due equazioni polinomiali che eguagliano a zero un polinomio monico con termine noto intero
14) p14(x) = x^3 - 8*x^2 - 11*x + 18 = 0 (5 moltiplicazioni)
15) p15(x) = x^4 + 2*x^3 + x^2 - 2*x - 2 = 0 (8 moltiplicazioni)
che la Regola di Ruffini valuta nella forma economica
14) p14(x) = ((x - 8)*x - 11)*x + 18 = 0 (2 moltiplicazioni)
15) p15(x) = (((x + 2)*x + 1)*x - 2)*x - 2 = 0 (3 moltiplicazioni)
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Se un polinomio monico con termine noto intero ha zeri razionali essi sono tutti divisori interi del termine noto
14) p14(x): TN = 18; D = {- 18, - 9, - 6, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 6, 9, 18}
15) p15(x): TN = 2; D = {- 2, - 1, 1, 2}
Che un polinomio non abbia zeri razionali e quindi si debba ricorrere a metodi diversi dall'abbassare il grado si può affermare solo dopo aver constatato che, avendolo valutato su ogni elemento dell'insieme D, non si è ottenuto nessuno zero (ovviamente appena ottenuto uno zero si procede con l'abbassare il grado e non con le altre valutazioni).
Nel 1809, quando il Ch.mo Prof. Paolo Ruffini inventò la Regola, i primi lapis (inventati nel 1795) costavano una fortuna e le moltiplicazioni si facevano intingendo la penna d'oca nel calamaio e scrivendo su carta anch'essa piuttosto costosa; il Chiarissimo aveva ottimi incentivi: per p14 avrebbe risparmiato 54 moltiplicazioni e per p15 venti.
Oggi che si dispone di ottimi software di calcolo l'incentivo del risparmio (di tempo e di denaro) non esiste più; con WolframAlpha si hanno tutte le valutazioni in pochi milisecondi e gratis.
In particolare
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* {x, p14(x)} in {{- 18, - 8208}, {- 9, - 1260}, {- 6, - 420}, {- 3, - 48}, {- 2, 0}, {- 1, 20}, {1, 0}, {2, - 28}, {3, - 60}, {6, - 120}, {9, 0}, {18, 3060}}
dove di zeri interi se ne vedono tre: {- 2, 0}, {1, 0}, {9, 0}
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%7Bx%2C%28%28x-8%29*x-11%29*x%2B18%7D%2C%7Bx%2C%7B-18%2C-9%2C-6%2C-3%2C-2%2C-1%2C1%2C2%2C3%2C6%2C9%2C18%7D%7D%5D
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* {x, p15(x)} in {{- 2, 6}, {- 1, 0}, {1, 0}, {2, 30}}
dove di zeri interi se ne vedono due: {- 1, 0}, {1, 0}
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%7Bx%2C%28%28%28x%2B2%29*x%2B1%29*x-2%29*x-2%7D%2C%7Bx%2C%7B-2%2C-1%2C1%2C2%7D%7D%5D
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CONCLUSIONE
La Regola di Ruffini, con l'ausilio di WolframAlpha, produce una fattorizzazione in soli fattori lineari razionali di p14(x); per p15(x) individua due fattori lineari razionali e un fattore quadratico a coefficienti razionali al quale occorre applicare la solita procedura di Bramegupta per assodare se i suoi zeri siano irrazionali o complessi.
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14) p14(x) = x^3 - 8*x^2 - 11*x + 18 = 0 ≡
≡ (x + 2)*(x - 1)*(x - 9) = 0 ≡
≡ (x + 2 = 0) oppure (x - 1 = 0) oppure (x - 9 = 0) ≡
≡ (x = - 2) oppure (x = 1) oppure (x = 9)
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15) p15(x) = x^4 + 2*x^3 + x^2 - 2*x - 2 = 0 ≡
≡ (x + 1)*(x - 1)*(x^2 + 2*x + 2) = 0 ≡
≡ (x + 1 = 0) oppure (x - 1 = 0) oppure (x^2 + 2*x + 2 = 0) ≡
≡ (x = - 1) oppure (x = 1) oppure (x^2 + 2*x + 2 = 0)
e, poiché il discriminante di "x^2 + 2*x + 2" è Δ = - 4 < 0, gli zeri non razionali sono complessi coniugati (x = - 1 ± i).
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SUGGERIMENTO
Puoi leggere una trattazione ordinata e con esempi svolti al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_Ruffini

Nel nostro caso quindi, essendo an=1, i possibili zeri del polinomio vanno cercati tra i divisori del termine noto 

{±1, ±2 ,±3, ±6, ±9 ,±18}

P(1)=1-8-11+18 = 0 ok

Applicando la regola di Ruffini 

Scompongo il polinomio di secondo grado conoscendo somma e prodotto delle radici