[Risolto] METODO DI LAGRZNGE

Faccio una panoramica dei vari metodi

1) il metodo dei fasori dell'elettrotecnica qui fallisce perché il termine noto é uno dei costituenti

dell'integrale generale dell'omogenea associata.

2) La trasformata di Laplace non la propongo perché al 99% non la conosci

3) La decomposizione operatoriale avverrebbe sui complessi, e non mi ci imbarco anche se non é difficile.

4) Il metodo di variazione delle costanti é probabilmente ridondante per questo caso.

5) Uso il metodo di somiglianza

L'integrale generale dell'omogenea associata é

yo(x) = C1 cos x + C2 sin x

Cerco yp nella forma  A x sin x + B x cos x

e impongo che sia soluzione.

y' = A sin x + Ax cos x + B cos x - Bx sin x

y'' = A cos x + A cos x - Ax sin x - B sin x - B sin x - Bx cos x

allora y'' + y = 2 A cos x - 2 B sin x + 0 + 0 = sin x

e ricordando che il seno ed il coseno sono integrali indipendenti

A = 0 e - 2B = 1 => B = -1/2

Dunque yp = -1/2 x cos x e infine

y = C1 cos x + C2 sin x - x/2 cos x

https://www.youmath.it/lezioni/analisi-due/equazioni-differenziali/645-metodo-del-wronskiano-per-equazioni-non-omogenee-del-secondo-ordine.html

qui hai un esempio quasi uguale al tuo

La procedura te l'ho già mostrata (lì avevo sbagliato qualche calcolo, non la successione delle operazioni); il risultato da ottenere è
* y(x) = a*sin(x) + b*cos(x) - (x/2)*cos(x)