Ciao!

MCD - Massimo Comun Divisore: l'MCD, che sia coi numeri o con i polinomi, è un fattore per cui tutti gli elementi considerati sono divisibili, quindi calcolare l'MCD tra quattro numeri significa trovare quel numero che permette sempre l'operazione Numero1:MCD, Numero2:MCD, Numero3:MCD, Numero4:MCD.  Analogamente accade coi polinomi: dobbiamo trovare quel polinomio che ci permetta di fare la stessa operazione di divisione, ma ovviamente tra i polinomi.
Come? è necessario prima di tutto scomporre in fattori primi gli elementi che stiamo usando, siano essi numeri o polinomi. Dopodiché guardiamo i fatto che abbiamo ottenuto e prendiamo quelli in comune a tutti gli elementi ma con esponente minimo. 

Esempio: $x^2-4x = x(x-4)$, $x^2-16 = (x-4)(x+4)$, $x^2+2x+4 $ non scomponibile

Ci sono fattori comuni a tutti e tre? No. Quindi l'unico polinomio che permette la divisione che vorremmo è $1$, quindi $MCD = 1$. 

Esempio: dopo aver scomposto dei polinomi, ci troviamo con le seguenti scomposizioni: $P_1 = (x-1)^2(x+1)$, $P_2= (x-1)^3$, $P_3 =(x-1)(x+1)$.

Ci sono fattori comuni a tutti e tre i polinomi? Sì, $(x-1)$, che si presenta però con vari gradi: in $P_1$ di grado $2$, in $P_2$ di grado $3$, in $P_3$ di grado $1$. Prendiamo quello minimo, quindi $MCD = (x-1)^1 = x-1 $

Verifichiamo che è sempre possibile fare le divisioni tra polinomi: 

$\frac{P_1}{MCD} = \frac{(x-1)^2(x+1)}{x-1} = (x-1)(x+1)$

$\frac{P_2}{MCD} = \frac{(x-1)^3}{x-1} = (x-1)^2$

$\frac{P_3}{MCD} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = (x+1)$

Mcm - Minimo comune multiplo: al contrario dell'MCD, qui vogliamo trovare un numero che è divisibile per tutti gli elementi in gioco, cioè se calcoliamo mcm tra 3 numeri, poi possiamo fare mcm:Numero1, mcm:Numero2, mcm:Numero3.

Analogamente accade coi polinomi: dobbiamo trovare quel polinomio che ci permetta di fare la stessa operazione di divisione, ma ovviamente tra i polinomi.
Come? è necessario prima di tutto scomporre in fattori primi gli elementi che stiamo usando, siano essi numeri o polinomi. Dopodiché guardiamo i fatto che abbiamo ottenuto e prendiamo quelli in comune a tutti gli elementi ma con esponente massimo, e poi quelli non in comune con tutti (con esponente massimo nel caso siano in comune solo con alcuni). 

Esempio: $x^2-4x = x(x-4)$, $x^2-16 = (x-4)(x+4)$, $x^2+2x+4 $ non scomponibile

Ci sono fattori comuni a tutti e tre? No. Quindi occupiamoci dei fattori NON comuni.

Abbiamo: 

$x$ non ripetuto $\Rightarrow$ lo prendiamo così com'è
$x-4$ ripetuto, ma sempre con grado $1$ $\Rightarrow$ lo prendiamo di grado $1$
$x^2+2x+4$ non ripetuto $\Rightarrow$ lo prendiamo così com'è

$\Rightarrow mcm = x(x-4)(x^2+2x+4)$

Esempio: dopo aver scomposto dei polinomi, ci troviamo con le seguenti scomposizioni: $P_1 = (x-1)^2(x+1)$, $P_2= (x-1)^3$, $P_3 =(x-1)(x+1)$.

Ci sono fattori comuni a tutti e tre i polinomi? Sì, $(x-1)$, che si presenta però con vari gradi: in $P_1$ di grado $2$, in $P_2$ di grado $3$, in $P_3$ di grado $1$. Prendiamo quello MASSIMO,  $\Rightarrow (x-1)^3$

Analizziamo quelli NON comuni: $(x+1)$ si ripete, ma sempre di grado $1$ 

Quindi $mcm = (x-1)^3 (x+1)$

Se ad esempio avessimo avuto: 

$P_1 = (x-1)^2(x+1)^4$, $P_2= (x-1)^3$, $P_3 =(x-1)(x+1)$.

l'mcm sarebbe stato: $(x-1)^3(x+1)^4$.

Verifichiamo che è sempre possibile fare le divisioni tra polinomi: 

$\frac{mcm}{P_1} = \frac{(x-1)^3 (x+1)}{(x-1)^2(x+1)} = (x-1)$

$\frac{mcm}{P_2}= \frac{(x-1)^3 (x+1)}{(x-1)^3}= x+1$

$\frac{mcm}{P_3} = \frac{(x-1)^3 (x+1)}{(x-1)(x+1)} = (x-1)^2$

 

x^2-4x

x^2-16

x^2+2x+4

vanno scomposti in fattori.

x^2-4x=x(x-4) raccogliendo x

x^2-16=(x+4)(x-4) è una differenza di quadrati

x^2+2x+4 non è scomponibile perchè delta=2^2-4*4=-12<0

 

Il MCD è dato dal prodotto dei fattori comuni con minimo esponente: non ce ne sono, quindi MCD=1.

Il mcm è dato dai fattori comuni e non con il massimo esponente: sono

x, x-4, x+4, x^2+2x+4

quindi mcm=x*(x-4)*(x+4)*(x^2+2x+4)