[Risolto] MAX, MIN, FLESSI, CONCAVITA'

Calcoliamo i massimi e i minimi relativi alla funzione

$y(x) = e^{x \cdot ln(|x|)}$

Osserviamo che

$e^{x \cdot ln(|x|)} = e^{ln(|x|)^x} = |x|^x$

Faremo riferimento a quest'ultima espressione.

• Dominio y(x) = ℝ \ {0}

La funzione risulta derivabile in tutto il suo dominio.

Consideriamo due casi:

1.  x > 0

$ y(x)  = x^x $

• derivata prima. $y'(x) = x^x (ln(x)+1)$
• Punti stazionari. $y'(x) = 0$
  • Sappiamo, che il termine $x^x$ è positivo per ogni valore di x positivo; quindi $y'(x) = 0 ⇒ ln(x) = -1 ⇒ x = e^{-1}$
  • Lo studio del segno del fattore ln(x)+1 ci darà indicazioni sulla monotonia della funzione y(x).
    • se ln(x) > -1 cioè x > e⁻¹ allora y'(x) > 0, in tal caso y(x) è crescente
    • se ln(x) < -1 cioè x < e⁻¹ allora y'(x) < 0, in tal caso y(x) è decrescente  
    • Decresce a sinistra del punto stazionario, cresce a destra si tratta quindi di un minimo relativo.

     2. x < 0 

$ y(x)  = -x^x $

• derivata prima. $y'(x) = - x^x (ln(-x)+1)$
• Punti stazionari. $y'(x) = 0$
  • Sappiamo che il termine $-x^x$ è positivo; quindi $y'(x) = 0 ⇔ ln(-x) = -1 ⇔ x = -e^{-1}$
  • Lo studio del segno della derivata prima ci darà indicazioni sulla monotonia della funzione y(x).
    • se ln(-x) > -1 cioè x > -e⁻¹ allora y'(x) < 0, in tal caso y(x) è decrescente
    • se ln(-x) < -1 cioè x < -e⁻¹ allora y'(x) > 0, in tal caso y(x) è crescente  
    • Cresce a sinistra del punto stazionario, decresce a destra si tratta quindi di un massimo relativo.