Maturità 1955/56

Sfortunatamente le foto sono in disordine rispetto alla consegna, però ho visto che hai fatto un piccolo errore di calcolo nel trovare le ascisse di $P_2$ e $P_3$. Infatti hai scritto:
$x^2+2x+4=a \Leftrightarrow (x+2)^2=a \Leftrightarrow x+2= \pm a$

Hai sbagliato a completare il quadrato perché $(x+2)^2=x^2+4x+4 \neq x^2 +2x +4 \implies x \neq 0$, e poi $(x+2)^2=a \implies x+2 = \pm \sqrt{a}$, infatti $\sqrt{a} = a \implies a= 0 \lor a =1$. I passaggi mi sembrano concettualmente corretti, se ci sono errori dopo è perché hai sbagliato questo valore all'inizio. Nello svolgere l'esercizio ho scritto tutto in funzione di $b$ (ho sostituito solo alla fine perché la consegna chiedeva di esplicitare $a$), ti manderei una foto, ma a differenza tua la mia scrittura è indecifrabile. Ho anche risolto l'esercizio su desmos, in basso trovi il grafico con tanto di equazioni delle curve, delle coordinate dei punti e l'area della parte facoltativa (puoi usarlo per confrontare i tuoi passaggi con i miei in linea di massima). Il disordine delle foto mi confonde un po', ma i tuoi ragionamenti sembrano molto simili ai miei. Per trovare le tangenti ti sconsiglio di usare $\Delta = 0$ nell'equazione risolvente (per una questione di semplicità del calcolo), piuttosto scrivi l'equazione di una retta tangente ad una curva a partire dalla definizione di derivata (te lo faccio presente perché mi è sembrato di aver visto $f'(a-2)=\frac{4-a}{(a-2)^2}$ quindi credo che tu sia familiare con il concetto):

Sia $f(x)$ una funzione derivabile in $x_0$, e $P=(x_0,f(x_0))$ un punto di $f(x)$, allora la tangente alla curva $f(x)$ nel punto $x_0$ è una retta di equazione $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ dove $f'(x)$ è la derivata prima di $f(x)$.

Un altro link al grafico che vedi in basso: