Matrice applicazione aggiunta

Problema:

Sia $g: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ l'applicazione lineare $g(x,y,z,t)=(x+t, z+t,2y)$.

a. Trovare la matrice $M$ di $g$ rispetto alle basi standard di $\mathbb{R}^4$ e $\mathbb{R}^3$.

b. Sia $f \in (\mathbb{R}^3)^\star$, cioè $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ lineare (cioè $f(u,v,w)=au+bv+cw$ per qualche coefficienti $a,b, c \in \mathbb{R}$). Trovare $g^\star f$. Verificare che la matrice dell'applicazione aggiunta $g^\star$ di $g$ è $M^T$.

c. Prendiamo adesso una base $\mathcal{B}=((1,0,0), (0,1,1),(0,0,2))$ di $\mathbb{R}^3$ invece della base standard. Trovare la base duale $\mathcal{B}$ di $(\mathbb{R}^3)^\star$.

d. Ripetere (a) e (b) con questa base.

Soluzione:

a. Per individuare la matrice $M$ associata all'applicazione $g$ devi vedere dove viene mappato ogni vettore della base canonica e inserirli nelle colonne di $M$.

$g(1,0,0,0)=(1,0,0)$

$g(0,1,0,0)=(0,0,2)$

$g(0,0,1,0)=(0,1,0)$

$g(0,0,0,1)=(1,1,0)$

Quindi $M^{\mathcal{E}_{\mathbb{R}^4}}_{\mathcal{E}_{\mathbb{R}^3}}(g)=\begin{pmatrix}
1& 0& 0& 1\\
0& 0&1 & 1\\
0&2 &0 &0
\end{pmatrix}$.

b. È noto dalle nozioni sul duale che $g^\star: (\mathbb{R}^3)^\star \to (\mathbb{R}^4)^\star$.

Bisogna quindi trovare $g^\star f$, che per il pull-back equivale a trovare $f(g(x))$ con $x \in \mathbb{R}^4$, infatti questa funzione segue la mappa $ \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, con $ x \mapsto g(x) \mapsto ( f \circ g)(x)$. Non ci sono quindi ambiguità. 

La funzione $f$ data è del tipo $f(u,v,w)=au+bv+cw$ con $a,b, c$ parametri reali. 

Preso un punto generico $x=(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4$, si ha che $g(x,y,z,t)=(x+t, z+t,2y)$ e quindi $f(g(x))=a(x+t)+b(z+t)+2cy$.

Esplicitando questa come funzionale si ha:

$(g^\star f)(x, y, z, t)=ax+2cy+bz+(a+b)t$. Questo può essere espresso come vettore $(a,2c,b,a+b)$; resta da verificare che la trasposta di $M(g)$ lo generi.

Si ha inoltre che $(M^{\mathcal{E}_{\mathbb{R}^4}}_{\mathcal{E}_{\mathbb{R}^3}}(g))^T=\begin{pmatrix}
1& 0&0 \\
0&0 &2 \\
0&1 & 0\\
1&1 &0
\end{pmatrix}$, quindi preso un qualunque vettore $(a, b, c)$ dello spazio vettoriale reale tridimensionale, si ha che:

$(M^{\mathcal{E}_{\mathbb{R}^4}}_{\mathcal{E}_{\mathbb{R}^3}}(g))^T \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1& 0&0 \\
0&0 &2 \\
0&1 & 0\\
1&1 &0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 2c \\ b \\ a+b \end{pmatrix} $, questo è ciò che si voleva mostrare. 

c. Una base duale di $\mathcal{B}=(v_1,v_2,v_3)$ contiene tre funzionali che rispettano la condizione della delta di Kronecker. Si ha quindi che 

$f_1(v_1)=1, f_1(v_2)=0, f_1(v_3)=0$

$f_2(v_1)=0, f_2(v_2)=1, f_2(v_3)=0$

$f_3(v_1)=0, f_3(v_2)=0, f_3(v_3)=1$.

Si inizia con il trovare $f_1(x,y,z)$.

Dato che $f_1$ è lineare, si ha $f_1(x,y,z)=f_1(x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1))=xf_1(1,0,0)+yf_1(0,1,0)+zf_1(0,0,1)$. L'obiettivo è quindi trovare $f_1(e_i)$.

$f_1(1,0,0)=1$ per Kronecker.

$f_1(0,1,1)=f_1(0,1,0)+f(0,0,1)=0$

$f_1(0,0,2)=2f_1(0,0,1)=0 \implies f_1(0,0,1)=0$. 

Da ciò si deduce che anche $f_1(0,1,0)=0$, quindi 

$f_1(x,y,z)=x(1)+y(0)+z(0)=x$.

Allo stesso modo si trovano anche $f_2$ e $f_3$. 

La base duale è quindi $\mathcal{B}^\star=(f_1,f_2,f_3)$.

d. Non si capisce cosa voglia di preciso, se lo vuole secondo la base duale devi esprimere i polimomi come vettori e procedere come ho fatto, altrimenti usi la base $\mathcal{B}$ data. Lasciato al lettore come esercizio. Potrebbe tornarti utile: https://www.sosmatematica.it/forum/domande/cambiamento-di-base/#post-289904