[Risolto] matematicaaa

@ciao_ 

457)

Riscrivo il fascio raccogliendo parzialmente il parametro k e determino le PARABOLE GENERATRICI. 

Kx² - x² + x - 3kx + y +ky + k - 1 = 0

K*(x² - 3x.+ y + 1) - x² + x - y - 1 = 0

Da cui si ricavano le equazioni delle due parabole:

y= - x² + 3x - 1

y= x² - x + 1

Determino eventuali PUNTI BASE mettendo a sistema l'equazione delle due generatrici. 

{y= - x² + 3x - 1

{y= x² - x + 1

Dal confronto delle due equazioni si ottiene 

(x - 1)² = 0

x=1, y=1

Abbiamo quindi un fascio di parabole con un singolo PUNTO BASE e tutte le parabole sono ivi tangenti

T=(1, 1)

Le PARABOLE DEGENERI si ottengono per

k=1 (si annulla il termine di x²)  ==> y= x

K= - 1 (si annulla il termine di y)  ==> x=1

Domanda A) 

Vertice sulla retta x=2.

Impongo la condizione:

Xv= - b/2a = 2

Si ricava:

(3k-1)/(2*(k-1)) = 2

3k-1 = 4k - 4

K=3

Domanda B) 

Tangente alla retta y= - x

Mettendo a sistema la retta data ed il fascio otteniamo:

(k-1)*x² - 4kx + (k-1)=0

Imponendo la condizione di tangenza tra le due curve:

Delta =0  < ==> 4k² - (k-1)² = 0

3k²+2k-1 = 0

Da cui si ricavano due valori di k, di cui solo uno accettabile 

K= - 1 (non accettabile poiché corrisponde alla parabola degenere) 

K=1/3

Domanda C) 

Passi per il punto intersezione delle rette 

{y = x+3

{3x+y-11=0

Sostituendo la prima equazione nella seconda determino le coordinate del punto comune alle due rette. 

4x-8 = 0

x=2, y =5

Quindi C=(2, 5)

Imponendo l'appartenenza del punto C al fascio, si ricava:

4*(k-1)+2*(1-3k)+5(1+k)+k-1=0

4k-4+2-6k+5+5k+k-1=0

4k = - 2

K= - 1/2