[Risolto] Matematica: iperbole e ellisse

Io ottengo i seguenti valori:

$x=\pm \frac{5}{\sqrt{2}}$

$y=\pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

Essendo i punti simmetrici rispetto all'origine hanno coordinate opposte in segno.

Per la corda:

$PQ=2\sqrt{17}$

Forse hai sbagliato la biquadratica quando metti a sistema l'iperbole equilatera con l'ellisse.

Specificare "con k > 0" vuol dire che le iperboli
* H(k) ≡ x*y = k
hanno centro nell'origine, gli assi coordinati per asintoti, i rami nei quadranti dispari e i vertici [V1(- √k, - √k), V2(√k, √k)] sulla loro bisettrice [y = x].
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L'ellisse
* Γ ≡ 9*x^2 + 25*y^2 = 225 ≡ (x/5)^2 + (y/3)^2 = 1
ha centro nell'origine e gli assi coordinati per assi di simmetria.
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a) Il sistema dei punti comuni
* H(k) & Γ ≡ (x*y = k) & ((x/5)^2 + (y/3)^2 = 1) ≡
≡ (y = k/x) & (x != 0) & ((x/5)^2 + ((k/x)/3)^2 = 1) ≡
≡ (y = k/x) & (x != 0) & (x^4 - 25*x^2 + (25/9)*k^2 = 0)
ha come risolvente, in u = x^2, la
* u^2 - 25*u + (25/9)*k^2 = 0 ≡
il cui discriminante, da annullare per la tangenza, è
* Δ(k) = 225 - 4*k^2
da cui
* Δ(± 15/2) = 0
NB: k = - 15/2 è inaccettabile in quanto contro il vincolo k > 0.
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Per k = + 15/2
* y = k/x = (15/2)/x = 15/(2*x)
* (25/9)*k^2 = (25/9)*(15/2)^2 = 625/4
* x^4 - 25*x^2 + (25/9)*k^2 = 0 ≡
≡ x^4 - 25*x^2 + 625/4 = 0 ≡
≡ (x^2 - 25/2)^2 = 0 ≡
≡ x = ± 5/√2
cioè
* P(- 5/√2, - 3/√2), Q(+ 5/√2, + 3/√2)
sulla retta
* y = (3/5)*x
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L'iperbole richiesta è
* x*y = 15/2
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D%283%2F5%29*x%2Cx*y%3D15%2F2%2C%28x%2F5%29%5E2%2B%28y%2F3%29%5E2%3D1%5D
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b) Stante la simmetria di (P, Q) rispetto all'origine la corda nominata è un diametro la cui lunghezza è la distanza fra gli estremi
* |PQ| = √((- 5/√2 - 5/√2)^2 + (- 3/√2 - 3/√2)^2) = 2*√17
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c) L'iperbole
* x*y = 15/2 ≡ y = 15/(2*x)
ha pendenza
* dy/dx = m(x) = - 15/(2*x^2)
cioè, nei punti di tangenza, con x^2 = 25/2
* m(± 5/√2) = - 3/5
Nominando le tangenti con la minuscola del punto di tangenza si ha
* p ≡ y = (- 3/5)*(x + 5/√2) - 3/√2 ≡ y = (- 3/5)*x - 3*√2
* q ≡ y = (- 3/5)*(x - 5/√2) + 3/√2 ≡ y = (- 3/5)*x + 3*√2
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d) La distanza fra due parallele è fra una e un punto dell'altra.
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La distanza della retta r ≡ y = m*x + q dal punto P(u, v) è
* |rP| = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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* |pq| = |pQ| =
= |((- 3/5)*5/√2 - 3*√2 - 3/√2)|/√((- 3/5)^2 + 1) =
= 6*√2/(√34/5) =
= 30/√17
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=distance+from+line+y%3D%28-3%2F5%29*%28x%2B5*%E2%88%9A2%29+to+line+y%3D%28-3%2F5%29*%28x-5*%E2%88%9A2%29