[Risolto] Matematica Finanziaria

Salve anche a te, nuovo membro mari92 e benvenuta fra noi!
(uso il femminile di cortesia quando lo pseudonimo non è indicativo del sesso)
A costo di deluderti, non sono in grado di dirti "Quale formula si utilizza per l'equità" perché il mio professore di matematica della quarta ginnasiale, a.s. 1952/53, mi spiegò (e me ne convinse) che per capire bene la matematica non si devono mai imparare le formule; si deve invece imparare a ragionare sulle singole situazioni problematiche, estrarne un problema ben posto e risolverlo.
Cerco di dimostrartelo su questa situazione rispondendo non a "Quale formula si utilizza ...", ma a "come faccio a sapere ...".
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Dalla descrizione in narrativa si ricavano due finanziamenti diversi con quattro proprietà comuni
* C = capitale finanziato
* n = 120 = numero di rate (MENSILI, spero! 10 anni)
* R = 279.00 € = importo della rata
* T = 7394.84 € = importo totale degl'interessi
ed altre caratterizzanti la diversità.
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A) Finanziamento noto
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* in regime composto
* t = 5,18% = 259/5000 = tasso annuo
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Con le rate mensili il tasso periodale x > 0 si ricava dal sistema
* ((1 + x)^12 = 1 + 259/5000) & (x > 0) ≡
≡ x = (5259/5000)^(1/12) - 1 ~= 0.00421745 ~= 0.42%
da cui
* M = C*(1 + x)^120 = C*((5259/5000)^(1/12))^120 =
= C*(5259/5000)^10 = montante
quindi
* T = M - C = C*(5259/5000)^10 - C = 7394.84 € ≡
≡ C*(5259/5000)^10 - C = 184871/25 ≡
≡ C ~= 11254.87 €
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NOTE
1) L'importo della rata sembrerebbe un dato sovrabbondante.
2) Secondo le regole europee (valide anche in Italia) istituite quando si è inventato l'euro, TUTTI I CALCOLI monetarii si devono fare con la precisione di ALMENO SEI DECIMALI (al milionesimo di euro) e TUTTI I PAGAMENTI e le scritture con AL PIU' DUE DECIMALI (al centesimo più prossimo).
Facendo i calcoli con le frazioni (quindi esatti), come ho fatto io, poi basta arrotondare i risultati finali.
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B) Finanziamento ignoto
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* in regime semplice
* t = tasso annuo = incognita dell'intero problema
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In regime semplice il monte interessi è il prodotto fra tasso, durata e capitale
* T = C*t*10 = 11254.87*t*10 = 7394.84 € ≡
≡ t = 369742/5627435 ~= 0.0657 = 6.57%
Inoltre da
* M = C + T = 11254.87 + 7394.84 = 18649.71 €
si ha
* r = M/120 = 621657/4000 = 155.41425 ~= 155.41 € < 279,00 €
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"come faccio a sapere a quale tasso in regime semplice avrò la stessa rata e stesso monte interessi?"
NON FAI IN ALCUN MODO: LA RICHIESTA È CONTRADDITTORIA.
Con lo stesso monte interessi la rata in regime semplice è inferiore.
Con la stessa rata gl'interessi sarebbero superiori.
S.E.&O.

Ho un finanziamento con n = 120 rate uguali di importo a = 279,00 € al tasso annuale i del 5,18 % ed il monte interessi in regime composto I pari ad euro 7.394,84. Come faccio a sapere a quale tasso in regime semplice avrò la stessa rata e stesso monte interessi?

capitale C = a*n-I = 120*279-7.394,84 = 26.085,16 €

applicando al capitale C = 26.085,16 € il tasso equivalente mensile ie pari a :

ie = (1+0,0518)^(1/12) -1  = 0,0042175

ed utilizzando la nota formula per il calcolo di a :

a = C(1+ie)^n*ie / ((1+ie)^n -1) 

si ottiene a = 277,45 € < 279,00 ...il che significa dati incongruenti 

un paio di tentativi permettono di determinare l'esatto ammontare del capitale in 26.230,80 € , cui corrisponde una rata mensile pari a 279,00033 € , un montante M di 33.480,04 € (con uno scostamento di soli 4 centesimi) ed un monte interessi I di 7.249,20 €

con un tasso in regime semplice i' pari al 5,061% applicato allo stesso capitale 26.230,80 € si  ha la stessa rata mensile di 279 € e lo stesso monte interessi pari a 7.249,20 €; infatti :

ie = 0,0042175 = (1+i'/12)-1 

i' = 0,0042175*12 = 0,05061 

riapplicando la formula  a = C(1+ie)^n*ie / ((1+ie)^n -1)  si ottiene a = 279,00033 

 

 

 

 

 

 

 

 

SECONDA RISPOSTA
dopo il commento «... purtroppo non ho risolto il problema. Le confermo che comunque la rata 279,00 è esatta»
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Mi fai venire i dubbi: ma allora, per mantenere costanti rata e montante, deve cambiare qualche parametro di quelli che avevo inteso costanti (non il capitale finanziato, spero!). Provo a ricalcolare e, se trovi sciocchezze, avvertimi!
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Per il calcolo di C, invece dell'equazione dei libri ((1 + x)^12 = 1 + t = 1 + 259/5000), uso quella delle banche (x = t/12 = 259/60000).
Al tasso annuo
* t = 5,18% = 259/5000
n = 120 rate mensili
* R = 279.00 €
ammortizzano un capitale finanziato C secondo la legge
* R = C*((t/12)/(1 - 1/(1 + t/12)^n)) ≡
≡ 279 = C*((259/60000)/(1 - 1/(1 + (259/60000))^120)) ≡
≡ C = (16740000/259)*(1 - (60000/60259)^120) ~= 26087.56 €
che sommato al dato
* T = 7394.84 €
dà il montante
* M = C + T = 26087.56 + 7394.84 = 33482.40 €
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Nel regime semplice lo stesso montante con la stessa rata dà
* n = M/R = 33482.40/279 = 55804/465 ~= 120 = 10 anni
e fin qui tutto bene.
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Infine
* T = C*t*10 = 26087.56*t*10 = 7394.84 € ≡
≡ t = 7394.84/(10*26087.56) = 184871/6521890 ~= 0.028346 ~= 2.83%