Matematica ellisse

Mamà tua te lo disse, che il fascio di coniche
* Γ(k) ≡ x^2/(k + 6) + y^2/(1 - k) = 1
genera solo ellissi?
Be' la tua mammina si sbagliava rotondamente, e anche tu a darle retta con tanta fiducia.
Intanto per k = - 6 oppure per k = 1 l'equazione è indefinita; e poi guardate un po' che belle iperboli vengon fuori per k < - 6 oppure per k > 1!
Si tratta di ellissi —tutte reali— solo per k nell'intervallo
* Ke ≡ - 6 < k < 1
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Data la retta
* t ≡ y = - 2*x + 4 ≡ y = 2*(2 - x)
il sistema
* t & Γ(k) & Ke ≡
≡ (y = 2*(2 - x)) & (x^2/(k + 6) + y^2/(1 - k) = 1) & (- 6 < k < 1)
ha risolvente
* x^2/(k + 6) + (2*(2 - x))^2/(1 - k) - 1 = 0 ≡
≡ (3*k + 25)*x^2 - 16*(k + 6)*x + (k + 15)*(k + 6) = 0
con discriminante
* Δ(k) = - 12*(k^3 + 8*k^2 + 9*k - 18)
che, per la tangenza, deve annullarsi
* (k^3 + 8*k^2 + 9*k - 18 = 0) & (- 6 < k < 1) ≡
≡ ((k + 6)*(k + 3)*(k - 1) = 0) & (- 6 < k < 1) ≡
≡ ((k = - 6) oppure (k = - 3) oppure (k = 1)) & (- 6 < k < 1) ≡
≡ k = - 3
da cui
* Γ(- 3) ≡ x^2/3 + y^2/4 = 1
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2*%282-x%29%2Cy%5E2%2F4%3D1-x%5E2%2F3%5D

{x^2/(k + 6) + y^2/(1 - k) = 1

{y = - 2·x + 4

Procedo per sostituzione:

x^2/(k + 6) + (- 2·x + 4)^2/(1 - k) - 1 = 0

(x^2·(3·k + 25) - 16·x·(k + 6) + (k + 6)·(k + 15))/((1 - k)·(k + 6)) = 0

posto (1 - k)·(k + 6) ≠ 0 quindi k ≠ -6 ∧ k ≠ 1

x^2·(3·k + 25) - 16·x·(k + 6) + (k + 6)·(k + 15) = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(8·(k + 6))^2 - (3·k + 25)·(k + 6)·(k + 15) = 0

(64·k^2 + 768·k + 2304) - (3·k^3 + 88·k^2 + 795·k + 2250) = 0

- 3·k^3 - 24·k^2 - 27·k + 54 = 0

k^3 + 8·k^2 + 9·k - 18 = 0

(k - 1)·(k + 3)·(k + 6) = 0

k = -6 ∨ k = -3 ∨ k = 1

k=-3 è l'unica accettabile

x^2/3 + y^2/4 = 1 è l'ellisse tangente a y = - 2·x + 4