Matematica: circonferenze

La curva è doppiamente simmetrica: rispetto all'asse x e rispetto all'asse y ed il suo contorno è definito dalla sovrapposizione di 4 circonferenze tutte passanti per l'origine:

x^2+y^2-4x-4y=0 nel 1° quadrante con centro C(2,2)

x^2+y^2+4x-4y=0 nel 2° quadrante con centro C1(-2,2)

x^2+y^2+4x+4y=0 nel 3° quadrante con centro C2(-2,-2)

x^2+y^2-4x+4y =0 nel 4° quadrante con centro C3(2,-2)

L'area che delimita la curva è pari ad un quadrato di area pari a 32 quindi di lato  L =√32 = 4·√2 incrementata dalla superficie di 4 semicerchi di area= 2·pi·(2·√2)^2 = 16·pi

Quindi A = 32 + 16·pi

Il calcolo dell'area della circonferenza circoscritto lo lascio a te:

RIPASSINO
I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre.
Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x).
1) Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
1a) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
1b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) oppure (a = + b) [unione]
1c) |a| >= b ≡ (a <= - b) oppure (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
2) Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}. Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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ESERCIZIO 397 (caso 1b, due volte)
* γ ≡ x^2 + y^2 - 4*|x| - 4*|y| = 0 ≡
≡ |y| = (x^2 + y^2 - 4*|x|)/4 ≡
≡ (4*y = - (x^2 + y^2 - 4*|x|)) oppure (4*y = x^2 + y^2 - 4*|x|) ≡
≡ (4*|x| = x^2 + y^2 + 4*y) oppure (4*|x| = x^2 + y^2 - 4*y) ≡
≡ ((4*x = - (x^2 + y^2 + 4*y)) oppure (4*x = x^2 + y^2 + 4*y)) oppure ((4*x = - (x^2 + y^2 - 4*y)) oppure (4*x = x^2 + y^2 - 4*y)) ≡
≡ (x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 8 oppure
≡ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 8 oppure
≡ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 8 oppure
≡ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8
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Quindi l'equazione data rappresenta l'unione di quattro circonferenze congruenti, di raggio r = √8 = 2*√2 e di centri C(± 2, ± 2) in simmetria quadrantale sulle bisettrici dei quadranti; dal momento che r è proprio la diagonale del quadrato di lato due esse passano tutte per l'origine, perciò quella che le circoscrive tutt'e quattro ha raggio R = 2*r = 4*√2, centro l'origine ed equazione
* Γ ≡ x^2 + y^2 = (4*√2)^2 = 32
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Le coppie di circonferenze opposte sono solo tangenti nell'origine; ma quelle adiacenti s'intersecano, oltre che nell'origine, anche nei punti (± 4, 0) e (0, ± 4). Le loro congiungenti, y = ± x ± 4, sono diametri delle relative circonferenze che quindi partizionano l'area racchiusa da γ in quattro semicerchi di raggio r = √8 (area 4*π*r^2/2 = 16*π) più il quadrato centrale di lato R = 4*√2 (area R^2 = 32).
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) "Disegna la curva γ"
Vedi il grafico e il paragrafo "Integer solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%7Cx%7C--%7Cy%7C%3D%28x%5E2--y%5E2%29%2F4
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b) "... e trova l'area S che ..."
* S = 16*(π + 2) ~= 82.265
http://www.wolframalpha.com/input?i=%7Cx%7C--%7Cy%7C%3D%28x%5E2--y%5E2%29%2F4%2C%7Cx%7C--%7Cy%7C%3D4
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c) "Determina ..."
* Γ ≡ x^2 + y^2 = 32
http://www.wolframalpha.com/input?i=%7Cx%7C--%7Cy%7C%3D%28x%5E2--y%5E2%29%2F4%2C%7Cx%7C--%7Cy%7C%3D4%2Cx%5E2%3D32-y%5E2