matematica

Si consiglia di indicare il numero dell'esercizio richiesto e di pubblicare la foto dritta.

Problema:

Scrivi l'equazione del piano perpendicolare al piano di equazione $2x-y+z=1$ e passante per i punti $A(2,0,-1)$ e $B(-1,4,1)$

Soluzione:

Il tuo tentativo è corretto, ma è necessario utilizzare un trucchetto per impostare il sistema.

Mi scuso se la risoluzione del quesito risulta poco chiara, ma dato che non ho mai assistito a lezioni liceali su questi argomenti, ho dovuto semplificare alcuni concetti che ho appreso dall'algebra lineare e da geometria I immaginando come potessero essere spiegati alle superiori.

Per risolvere questo genere di quesiti conviene preparare una strategia di attacco, come è noto due piani sono perpendicolari tra loro se i loro vettori normali sono perpendicolari, dunque è necessario trovare il vettore normale del piano dato e ricavare da esso il suo ortogonale, che tra l'altro, come forse vedrai in futuro, è unico dato che il piano ha dimensione due e lo spazio euclideo in questo caso è di dimensione tre. Poiché il vettore ortogonale al normale del piano dato ha tre componenti, è necessario impostare un sistema con un piano generico ed i punti dati, qui sarà necessario utilizzare un piccolo trucco.

Il vettore normale al piano dato è regalato dai coefficienti delle coordinate dell'equazione data, ciò è dovuto ad una peculiarità del prodotto scalare che solitamente non viene affrontata nel dettaglio alle superiori. $n(2,-1,1)$.

Preso un generico vettore $v(a,b,c)$, che sarà il normale al piano cercato, esso è ortogonale ad $n$ se il prodotto scalare $⟨n,v⟩=0$. $⟨(a,b,c),(2,-1,1)⟩=2a-b+c=0$. Questa è la prima equazione del sistema.

Per trovare le altre due equazioni del sistema è necessario prendere un piano generico $ax+by+cz+d=0$, riscrivibile come $a'x+b'y+c'z+1=0$. Ciò è dovuto al fatto che per ottenere tre valori è necessario un sistema di tre equazioni a tre incognite. Il vettore normale di questo generico piano sarà $(a',b',c')$ che è un multiplo di $(a,b,c)$, ciò non crea problemi se si pensa in termini di Span, ma questo non credo venga spiegato alle superiori, quindi prendilo per dato.

Il sistema è dunque:

{2a-b+c=0, 2ka-kc+1=0, -ka+4kb+kc+1=0 con k parametro fissabile ad 1 per ciò detto prima.

{2a-b+c=0, 2a-c+1=0, -a+4b+c+1=0

La soluzione del sistema è dunque $(a,b,c)=(\frac{-6}{17}, \frac{-7}{17}, \frac{5}{17})$.

Sostituendo ciò nel piano $a'x+b'y+c'z+1=0$ con $(a',b',c')=k(a,b,c), k=1$ si ottiene:

$6x+7y-5z+17=0$ che è il piano richiesto.

Scrivi l'equazione del piano perpendicolare al piano di equazione 2x-y+z=1 e passante per i punti A(2; 0; -1) e B(-1; 4; 1)