Si studi la funzione $f(x)=\int_{0}^{x}(t-1) e^{t-t^{2} / 2} d t$ : se ne studi il segno ${ }^{1}$, se ne determini il comportamento ai bordi del dominino, si identifichino eventuali asintoti verticali o orizzontali, se ne studi il segno della derivata prima e seconda, determinando così le regioni dove è crescente, decrescente, concava o convessa e si identifichino i punti di flesso. Infine se ne disegni il grafico.
Buonasera qualcuno gentilmente mi potrebbe aiutare a questo esercizio 😘
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Livello 0
Ciao
L'integrale dato fornisce la funzione:
∫((t - 1)·e^(t - t^2/2))dt =1 - e^(x - x^2/2)
(se definito fra 0 ed x)
Quindi è reale per ogni x: C.E. : ]-inf;+ inf[
Le condizioni agli estremi del C.E. forniscono:
LIM(1 - e^(x - x^2/2))= 1
0--> -∞
LIM(1 - e^(x - x^2/2))=1
x---> +∞
Quindi un asintoto orizzontale di equazione y=1
Le due derivate sono:
y'= e^(x - x^2/2)·(x - 1)
y''= e^(x - x^2/2) - e^(x - x^2/2)·(x - 1)^2
Studio derivata 1^:
e^(x - x^2/2)·(x - 1) ≥ 0------->x ≥ 1
analogamente:
e^(x - x^2/2)·(x - 1) < 0-------> x < 1
Quindi:
y cresce per x>1
y decresce per x<1
y'=0 per x=1 ove presenta un punto di minimo
f(1)=1 - e^(1 - 1^2/2) = 1 - e^(1/2)
Studio derivata 2^
e^(x - x^2/2) - e^(x - x^2/2)·(x - 1)^2 ≥ 0
quindi per 0 ≤ x ≤ 2
analogamente:
e^(x - x^2/2) - e^(x - x^2/2)·(x - 1)^2 < 0
quindi per: x < 0 ∨ x > 2
Quindi:
y presenta concavità verso l'alto per 0<x<2
y presenta concavità verso il basso per x < 0 ∨ x > 2
y ha punti di flesso per x = 2 ∨ x = 0
Grafico:
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Genius III
