[Risolto] Fascio di parabole

Il fascio di equazione
* Γ(k) ≡ y = (k + 4)*x^2 - (k + 8)*x + (3*k + 8)
ha tre casi particolari
* Γ(- 4) ≡ y = - 4*(x + 1) retta congiungente (0, - 3) e (- 1, 0)
* Γ(- 8) ≡ y = - 4*(x^2 + 4)
* Γ(- 8/3) ≡ y = (4/3)*(x - 4)*x
e il caso generico, per x != - 4,
* Γ(k) ≡ y = (k + 4)*(x^2 - ((k + 8)/(k + 4))*x + (3*k + 8)/(k + 4)) ≡
≡ y = (k + 4)*(x - (k + 8)/(2*(k + 4)))^2 + (11*k^2 + 64*k + 64)/(4*(k + 4))
dal quale si possono rilevare le proprietà geometriche (apertura, vertice, fuoco, direttrice, ...), che non sono direttamente richieste dall'esercizio, ma che comunque occorrono per rispondere ai quesiti b, c.
* apertura a = (k + 4) != 0
* vertice V((k + 8)/(2*(k + 4)), (11*k^2 + 64*k + 64)/(4*(k + 4)))
* luogo dei vertici: l'iperbole 4*x^2 + 2*x*y + 8*x - y - 16 = 0
* asse di simmetria: x = xV = (k + 8)/(2*(k + 4))
* distanza focale |VF| = |Vd| = f = 1/(4*|a|)
* fuoco F(xV, yV + 1/(4*a))
* direttrice: d ≡ y = yV - 1/(4*a)
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) "passa per O": Γ(- 8/3) ≡ y = (4/3)*(x - 4)*x
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b) concavità verso y < 0: a < 0 ≡ k + 4 < 0 ≡ k < - 4
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c) fuoco di ascissa - 1: xV = - 1 ≡ (k + 8)/(2*(k + 4)) = - 1 ≡
≡ k = - 16/3
* Γ(- 16/3) ≡ y = - (4/3)*(x^2 + 2*x + 6)

y = (k + 4)·x^2 - (k + 8)·x + (3·k + 8)

a = k + 4

b = - (k + 8)

c = 3·k + 8

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passa per O(0,0): termine noto nullo c = 

3·k + 8 = 0-------> k = - 8/3

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concavità rivolta verso il basso: a<0

k + 4 < 0-------> k < -4

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Fuoco di ascissa x=-1. Il fuoco sta sull'asse:

- b/(2·a) = -1-----> (k + 8)/(2·(k + 4)) = -1

k + 8 = - 2·(k + 4)-----> k + 8 = - 2·k - 8-----> k = - 16/3