Matematica

x^2-x+ax-a = x^2-ax -2x+2a

x+2ax = 3a

x(2a+1) = 3a 

√2(2a+1) = 3a 

a(3-2√2) = √2

a = √2/(3-2√2)

si moltiplicano  numeratore e denominatore per (3+2√2) ; ricordando che (a+b)(a-b) = a^2-b^2 , il denominatore diventa 3^2-8 = 1 , pertanto :

a =  √2*(3+2√2) = 3√2+4 

Riduciamo a forma normale

x^2 + ax - x - a = x^2 - 2x - ax + 2a

ax + ax - x + 2x = 2a + a

2ax + x = 3a

In modo apparentemente controintuitivo, esplicito rispetto ad a

2ax - 3a = - x

a(3 - 2x) = x

a = x/(3 - 2x)

a* = rad(2)/(3 - 2 rad(2)) =

= rad(2) * (3 + 2 rad(2))/(9 - 8) =

= 3 rad(2) + 4

SPIEGAZIONE
L'esercizio presenta un'equazione in 'x', parametrica in 'a', e chiede di determinare un valore del parametro (l'incognita del problema) tale che un determinato valore dell'incognita dell'equazione ne sia una radice.
Vale a dire che, ponendo √2 al posto di x nella scrittura
* (x - 1)*(x + a) = (x - a)*(x - 2)
cioè scrivendo
* (√2 - 1)*(√2 + a) = (√2 - a)*(√2 - 2)
l'eguaglianza deve risultare vera.
Si noti che, con questa sostituzione, si è ottenuta un'equazione in 'a' che pertanto è l'incognita del problema.
RISOLUZIONE
Con la solita procedura (sottrarre membro a membro il secondo membro; sviluppare, commutare, ridurre; dividere membro a membro per il coefficiente direttore; isolare l'incognita dalla forma normale canonica ottenuta; semplificare il risultato) si ha
* (√2 - 1)*(√2 + a) = (√2 - a)*(√2 - 2) ≡
≡ (√2 - 1)*(√2 + a) - (√2 - a)*(√2 - 2) = 0 ≡
≡ (2*√2 - 3)*a + √2 = 0 ≡
≡ a + √2/(2*√2 - 3) = 0 ≡
≡ a = - √2/(2*√2 - 3) = √2/(3 - 2*√2) =
= (3 + 2*√2)*√2/((3 + 2*√2)*(3 - 2*√2)) = (3*√2 + 4)/1 = 3*√2 + 4
CONCLUSIONE
Il valore del parametro che soddisfà alla consegna è
* a = √2/(3 - 2*√2)
ovvero, razionalizzando il denominatore,
* a = 3*√2 + 4
NOTA
Un'espressione frazionaria con al denominatore un binomio della forma "a + √b" assume una forma equivalente più semplice se si moltiplicano numeratore e denominatore per il binomio "coniugato", cioè "a - √b".
Ad esempio
* n/(a + √b) = n*(a - √b)/((a + √b)*(a - √b)) = (n*a - n*√b)/(a^2 - b) = n*a/(a^2 - b) - n*√b/(a^2 - b)
dove "a^2 - b" è un valore razionale e quindi sia "a/(a^2 - b)" che "1/(a^2 - b)" sono valori razionali.