matematica

Il centro di simmetria essendo i fuochi sull'asse x e un vertice in v1(0; - radice 3) è l'origine degli assi cartesiani 

La conoscenza delle coordinate di v1 permette di determinare il semiasse minore b=radice (3)

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

0^2/a^2 + (- √3)^2/b^2 = 1 passa per [0, - √3]

3/b^2 = 1----> b^2 = 3

x^2/a^2 + y^2/3 = 1

e = c/a-----> e^2 = c^2/a^2

(1/2)^2 = c^2/a^2----> 1/4 = c^2/a^2

quindi:

c^2 = 1/4a^2

ma a^2=b^2+c^2

a^2 = 3 + 1/4·a^2---> a = -2 ∨ a = 2

a^2=4

x^2/4 + y^2/3 = 1----> 3·x^2 + 4·y^2 = 12

IL RISULTATO ATTESO E' ERRATO perché presenta una sola delle infinite ellissi che soddisfanno alle specificazioni; infatti il testo presenta un problema indeterminato per carenza di specificazioni.
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Ogni ellisse ha i fuochi sull'asse maggiore.
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Ogni ellisse Γ con i fuochi sull'asse x ha
* centro C(k, 0)
* semiassi a > b
* vertici (k ± a, 0) e (k, ± b)
* equazione Γ ≡ ((x - k)/a)^2 + (y/b)^2 = 1
* semidistanza focale c = √(a^2 - b^2)
* eccentricità e = c/a = √(1 - (b/a)^2)

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ESERCIZIO
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"eccentricità 1/2" ≡ e = √(1 - (b/a)^2) = 1/2 ≡ b = (√3/2)*a
* Γ ≡ ((x - k)/a)^2 + (y/((√3/2)*a))^2 = 1
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"un vertice in V(0, - √3)" ≡ (((0 - k)/a)^2 + (- √3/((√3/2)*a))^2 = 1) & (a > 0) ≡
≡ a = √(k^2 + 4)
* Γ ≡ ((x - k)/√(k^2 + 4))^2 + (y/((√3/2)*√(k^2 + 4)))^2 = 1 ≡
≡ ((x - k)/√(k^2 + 4))^2 + (y/(√(3*(k^2 + 4))/2))^2 = 1 ≡
≡ 3*x^2 + 4*y^2 - 6*k*x - 12 = 0
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Puoi vedere alcune delle ellissi del fascio
* 3*x^2 + 4*y^2 - 6*k*x - 12 = 0
al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B3*x%5E2--4*y%5E2-6*k*x-12%3D0%2C%7Bk%2C-2%2C2%7D%5D
dove t'invito a notare il paragrafo "Solutions".