Il punto P(k, - 4) è il cursore di
* r ≡ y = - 4
e la retta p, perpendicolare a r per P, è
* p ≡ x = k
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Il punto fisso F(0, 8) è l'altro estremo del segmento FP il cui asse "t" è il luogo dei punti A(x, y) equidistanti dai due estremi
* t ≡ |AF|^2 = |AP|^2 ≡
≡ x^2 + (y - 8)^2 = (x - k)^2 + (y + 4)^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 16*y + 64 = x^2 + y^2 - 2*k*x + 8*y + k^2 + 16 ≡
≡ - 16*y + 64 = - 2*k*x + 8*y + k^2 + 16 ≡
≡ y = (2*k*x + 48 - k^2)/24
di pendenza
* m(k) = k/12
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L'intersezione Q è la soluzione di
* p & t ≡ (x = k) & (y = (2*k*x + 48 - k^2)/24) ≡ Q(k, (k^2 + 48)/24)
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a) Verifica che il luogo descritto da Q al variare di P su r è una parabola avente r come direttrice e F come fuoco e dimostra che la retta t è tangente in Q alla parabola.
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a1) Il luogo descritto da Q si trova eliminando il parametro k dalle coordinate
* (x = k) & (y = (k^2 + 48)/24) ≡
≡ (k = x) & (y = (y = (x^2 + 48)/24)
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a2) Fuoco e direttrice si trovano individuando: apertura a = 1/24 > 0; asse x = w; vertice V(w, h); distanza focale f = 1/(4*|a|) = 6.
E poi: fuoco(w, h + 1/(4*a)) = (w, h + 6); direttrice d ≡ y = h - 1/(4*a) = h - 6.
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Riscrivendo l'equazione del luogo
* y = (x^2 + 48)/24 ≡ y = 2 + (1/24)*(x - 0)^2
le si dà la forma
* y = h + a*(x - w)^2
da cui dedurre
* V(0, 2)
* fuoco(0, 2 + 6) ≡ F(0, 8)
* direttrice d ≡ y = 2 - 6 ≡ y = - 4 ≡ r
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a3) Si dimostra che la retta t è tangente in Q alla parabola
* y = (x^2 + 48)/24
di pendenza
* m(x) = x/12
osservando che nel punto Q, di ascissa x = k, la parabola ha la medesima pendenza di t.
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b) Determina la posizione di P affinché il triangolo PFQ abbia area doppia di quella del triangolo OPF.
Si calcolano le due aree col "METODO GENERALE" esposto al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/108698/
e ci si forma l'equazione risolutiva.
* S(FOP) = 4*|k|
* S(FPQ) = |k*(k^2 + 144)|/48
* S(FPQ) = 2*S(FOP) ≡
≡ |k*(k^2 + 144)|/48 = 2*4*|k| ≡
≡ |k*(k^2 + 144)|/|k| = 384 ≡
≡ k^2 + 144 = 384 ≡
≡ k^2 = 240 ≡
≡ k = ± √240 = ± 4*√15 ~= 15.49
da cui
* P(- √240, - 4) oppure P(√240, - 4)
