matematica

Osserva che:

x^2 - 27 = (x + 3·√3)·(x - 3·√3)

pertanto risulta il mcm dei denominatori che compongono le frazioni algebriche. Moltiplica ogni termine delle frazioni algebriche per tale mcm precisando da subito le C.E.

(x + 3·√3)·(x - 3·√3) ≠ 0 ---> x ≠ - 3·√3 ∧ x ≠ 3·√3

Quindi l'equazione:

(x + 3·√3)/(x - 3·√3) + (x - 3·√3)/(x + 3·√3) - 1 =

= (√3·(x + 27·√3) + 2·(√3 - x))/(x^2 - 27)

diventa:

(x + 3·√3)^2 + (x - 3·√3)^2 - 1·(x^2 - 27) =

= √3·(x + 27·√3) + 2·(√3 - x)

quindi:

(x^2 + 6·√3·x + 27) + (x^2 - 6·√3·x + 27) - (x^2 - 27) =

=(√3·x + 81) + (2·√3 - 2·x)

I passaggi li fai tu....

x^2 + 81 = x·(√3 - 2) + 2·√3 + 81

ottieni un'equazione completa di 2° grado:

x^2 - x·(√3 - 2) - 2·√3 = 0

il cui determinante è:

Δ = (√3 - 2)^2 + 8·√3

Δ = 4·√3 + 7 > 0

La risolvi ed ottieni come soluzione:

x = √3 ∨ x = -2

entrambe accettabili perché compatibili con le C.E.

 

Occorre verificare quali sono le condizioni di esistenza (C.E.) e di seguito determinare le possibili soluzioni.

• C.E.

Determiniamo per quali valori delle x i denominatori si annullano.

-) /(x-3√3) ⇒ x≠3√3

-) /(x+3√3) ⇒ x≠-3√3

-) /(x²-27) ⇒ x≠ ± 3√3

C.E = ℝ \ {-3√3,3√3} 

• Soluzioni

(x+3√3)/(x-3√3) + (x-3√3)/(x+3√3) - 1 = [√3(x+27√3) + 2(√3-x)]/(x²-27)

mcm = (x²-27)

[(x+3√3)²+(x-3√3)²-x²+27] / (x²-27) = [√3(x+27√3) + 2(√3-x)]/(x²-27)

semplifichiamo i denominatori

(x+3√3)²+(x-3√3)²-x²+27  = √3(x+27√3) + 2(√3-x)

sviluppiamo i quadrati e i prodotti

x²+6√3 x+27+x²-6√3 x+27-x²+27 = √3x + 81 + 2√3 - 2x

semplifichiamo 6√3 x e x²

x²+ 81 = (√3-2)x+81+2√3

Semplifichiamo 81 e portiamo il tutta a sinistra

x²-(√3-2)x - 2√3 = 0

Equazione di secondo grado dove 

i) il termine noto che è il prodotto delle due radici vale -2*√3

ii) il coefficiente della x che è l'opposto della somma delle due radici vale -(√3-2) quindi la somma vale √3-2. ma allora le due radici sono

• x = -2
• x = √3

Entrambe le radici soddisfano la condizione espressa dal CE, quindi sono entrambe valide.

 

N.B. Ovviamente puoi affrontare l'equazione di secondo grado applicando la formula risolutiva ma, ricordati che le soluzioni sono brillanti solo se il matematico è pigro.