[Risolto] Matematica

Ciao!

L'equazione generica della circonferenza con centro $C (x_c; y_c) $ e raggio $r$ è:

$$ (x-x_c)^2+(y-y_c)^2 = r^2 $$

Se invece abbiamo l'equazione 

$$ x^+y^2+ax+by+c = 0 $$

Il centro è $C = (-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$ e $r = \sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}$

Questa circonferenza ha centro nel punto medio del diametro: $C (\frac{0-2}{2}; \frac{-2+4}{2}) = (-1; 1)$

e raggio: $AC= \sqrt{(0+1)^2+(-2-1)^2} = \sqrt{10} $

quindi:

$(x+1)^2+(y-1)^2 = 10 $

$x^2+y^2+2x-2y -8 = 0 $

$C=(-\frac{-6}{2}; -\frac{4}{2}) = (3; -2)$

$r = \sqrt{ 9 + 4 -(- 12)} = \sqrt{25} = 5$

$(x+1)^2 +(y+2)^2 = 25 $

$x^2+y^2+2x+2y - 20 = 0$ 

Mettiamole a sistema:

$\begin{cases} x-y-4 = 0 \\ x^2+y^2-6x-4y+4 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x =y+4 \\ x^2+y^2-6x-4y+4 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x =y+4 \\ (y+4)^2+y^2-6(y+4)-4y+4 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x =y+4 \\ y^2+8y+16+y^2-6y-24-4y+4 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x =y+4 \\ 2y^2-2y-4 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x =y+4 \\ y^2-y-2 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x =y+4 \\ (y-2)(y+1)= 0 \end{cases}$

quindi $y = 2 \Rightarrow x = 6 $
$y = -1 \Rightarrow x = 3 $

Quindi è secante (2 punti di intersezione) nei punti $(3; -1)$ e $(6; 2)$

Data la parabola $ y = ax^2+bx+c $

Il vertice è: $V = (-\frac{b}{2a}; - \frac{b^2-4ac}{4a})$

Il fuoco è: $F=(-\frac{b}{2a}; \frac{1-b^2+4ac}{4a})$

quindi:

$V = (-\frac{-8}{-2}; -\frac{64-0}{-4}) = (-4; 16)$

$F = (-4; \frac{1-64+0}{-4}) = (-4; \frac{63}{4})$

(non c'è nessuna risposta corretta tra quelle proposte)