[Risolto] matema

A) Misure in m e m^2.
La circonferenza dell'arcata completa ha
* centro C(0, - 4)
* raggio R = 4
* equazione Γ ≡ x^2 + (y + 4)^2 = 4^2
quindi la semicirconferenza superiore è descritta dal sistema
* (x^2 + (y + 4)^2 = 4^2) & (y >= - 4)
da cui, esplicitando y, si ottiene
* (y = √(16 - x^2) - 4) & (- 4 <= x <= 4)
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AB) Per localizzare il punto D(w, - 3), che determina le arcate adiacenti e quindi l'ascissa del centro del medaglione, occorre che le intersezioni di Γ con
* Γ' ≡ (x - a)^2 + (y + 4)^2 = 16
siano all'ordinata yD = - 3.
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* Γ & Γ' ≡ (x^2 + (y + 4)^2 = 16) & ((x - a)^2 + (y + 4)^2 = 16) & (0 < a < 8) ≡
≡ D'(a/2, (- 8 - √(64 - a^2))/2) oppure D(a/2, (- 8 + √(64 - a^2))/2)
pertanto si ha
* yD = (- 8 + √(64 - a^2))/2 = - 3 ≡ a^2 = 60 ≡ a = ± 2*√15 ~= ± 7.75
≡ w = a/2 = ± √15 ~= ± 3.87
da cui, a destra, con centro C'(2*√15, - 4)
* Γ' ≡ (x - 2*√15)^2 + (y + 4)^2 = 16 ≡ y = √(- (x^2 - (4*√15)*x + 44)) - 4
e l'ascissa del centro K(√15, h) del medaglione di destra.
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L'ordinata h dev'essere tale che K(√15, h) sia equidistante dall'asse x e dalle due circonferenze delle arcate; tale distanza, |h|, è la distanza |KC| diminuita di quattro (il raggio di Γ).
* |KC| = √((√15 - 0)^2 + (- 4 - h)^2) = √(h^2 + 8*h + 31)
* |h| = - h = |KC| - 4 = √(h^2 + 8*h + 31) - 4 →
→ (- h = √(h^2 + 8*h + 31) - 4) & (h < 0) ≡
≡ h = - 15/16
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B) Il medaglione di destra ha
* centro K(√15, - 15/16)
* raggio R = 15/16
* equazione Γ'' ≡ (x - √15)^2 + (y + 15/16)^2 = (15/16)^2 ≡
≡ 8*x^2 + 8*y^2 - (16*√15)*x + 15*y + 120 = 0
che è proprio il risultato atteso, a meno di un fattore costante.
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C) Grafico d'insieme al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D0%2C%28x-%E2%88%9A15%29%5E2--%28y--15%2F16%29%5E2%3D%2815%2F16%29%5E2%2Cy%3D%E2%88%9A%2816-x%5E2%29-4%2Cy%3D%E2%88%9A%28-%28x%5E2-%284*%E2%88%9A15%29*x--44%29%29-4%5Dx%3D-5to13

@penh